환론에서 대합 대수(對合代數, 영어: algebra with involution, *-algebra)는 호환되는 대합이 주어진 결합 대수이다.

정의

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가환환   위의 대합 대수(영어: algebra with involution, *-algebra)  은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

  •    위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
  •   -가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서  반대환을 뜻한다.) 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
    • 임의의   에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  

정수환   위의 결합 대수과 같은 개념이므로, 정수환   위의 대합 대수를 대합환이라고 한다.

보다 일반적으로, 가환 대합환   위의 대합 대수  는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

  •    위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
  •  는 다음을 만족시킨다.
    • 임의의   에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  

예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

특별한 원소

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가환 대합환  가 주어졌으며, 그 부분환  을 생각하자. 그렇다면,  -대합 대수  의 원소에 대하여, 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다.

용어 정의 비고
자기 수반 원소(영어: self-adjoint element)   자기 수반 원소들은   아래  -요르단 대수를 이룸
반자기 수반 원소(영어: anti-self-adjoint element)   반자기 수반 원소들은 리 괄호   아래  -리 대수를 이룸
등거리원(等距離元, 영어: isometry element)  
유니터리 원소(unitary元素, 영어: unitary element) 정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며  ) 유니터리 변환의 개념의 일반화
정규원(正規元, 영어: normal element)   정규 작용소의 개념의 일반화
사영원(射影元, 영어: projection element) 멱등원이자 자기 수반 원소 (즉,  )
부분 등거리원(部分等距離元, 영어: partial isometry element)  가 사영원
음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)  

자명한 대합환

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가환환   위의 임의의 결합 대수   위에 항등 함수 대합

 

을 주면, 이는  -대합 대수를 이룬다.

등급환

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가환환    사이의 환 준동형  이 주어졌다고 하자.   위의 대합을 항등 함수로 정의한다면  는 (자명한)  -대합 대수를 이룬다. 보다 일반적으로,  에 추가로  -등급  -단위 결합 대수의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

 
 

이 역시  -대합 대수를 이룬다.

체의 확대

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복소수체   -대합 대수를 이루며, 대합 연산은 복소켤레이다. 보다 일반적으로,   에 대하여, 2차 확대   위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

 

이는  -대합 대수를 이룬다.

다항식환

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가환환   위의 다항식환   위에 다음과 같은 대합을 줄 수 있다.

 

그렇다면 이는  -대합 대수를 이룬다.

행렬환

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가환환   위의 행렬환  에서, 대합을 전치행렬로 놓는다면 이는  -대합 대수를 이룬다.

사원수환

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사원수환  는 (사원수 켤레에 대하여)  -대합 대수를 이루지만,  -대합 대수를 이루지 않는다.

C* 대수

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모든 C* 대수폰 노이만 대수는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, 복소수 힐베르트 공간   위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수  에르미트 수반을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다.

같이 보기

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외부 링크

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