그로텐디크 군

K이론에서, 그로텐디크 군(Grothendieck群, 영어: Grothendieck group)은 아벨 범주 또는 퀼런 완전 범주로부터 정의되며, 그 짧은 완전열들에 대한 정보를 담고 있는 아벨 군이다. 0차 대수적 K군과 같다.

정의

그로텐디크 군

작은 퀼런 완전 범주 (예를 들어, 작은 아벨 범주) ${\mathcal {A}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 짧은 완전열

$A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow C$

에 대하여, 형식적 관계

$[A]+[C]=[B]$

를 정의하자. 그렇다면, ${\mathcal {A}}$의 모든 원소들과 위와 같은 관계들로 생성되는 아벨 군을 ${\mathcal {A}}$의 그로텐디크 군이라고 하며, $\operatorname {K} ({\mathcal {A}})$로 표기한다. (이 기호 $\operatorname {K} (-)$는 K이론에서 딴 것이다.)

“최소” 퀼런 완전 범주의 경우

작은 가법 범주 ${\mathcal {A}}$ 위에, 다음과 같은 열들만을 짧은 완전열로 하는 퀼런 완전 범주 구조를 주자.

$A\to A\oplus B\to B$

(여기서 위의 두 사상은 곱 및 쌍대곱의 보편 성질에 등장하는 것들이다. $\oplus$는 곱 (범주론)=쌍대곱이다.) 이는 ${\mathcal {A}}$ 위에 존재하는 “최소의” (즉, 짧은 완전열을 가장 적게 갖는) 퀼런 완전 범주 구조이다.

이 경우, ${\mathcal {A}}$의 그로텐디크 군은 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

우선, 일반적으로, 가환 모노이드의 범주 $\operatorname {CMon}$와 아벨 군의 아벨 범주 $\operatorname {Ab}$ 사이의 포함 함자

$\operatorname {Ab} \to \operatorname {CMon}$

는 (둘 다 대수 구조 다양체이므로) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 이 함자를

$F\colon \operatorname {CMon} \to \operatorname {Ab}$

라고 하자. 이 함자의 구체적 구성은 다음과 같다.

함자 $F$의 구성:

가환 모노이드 $(M,+)$의 상은 다음과 같다.

$F(M)\cong \left({\frac {M\times M}{\sim }},+\right)$

$(m,n)\sim (m+p,n+p)\qquad (m,n,p\in M)$

$[(m,n)]_{\sim }+[(m',n')]_{\sim }=[(m+m',n+n')]_{\sim }$

여기서 순서쌍 $(m,n)$의 동치류는 보통 $m-n$으로 표기된다. 위 연산에서, $(m,n)$의 의 동치류의 역원은 $(n,m)$의 동치류이며, 덧셈 항등원은 (임의의 $m\in M$에 대하여) $(m,m)$의 동치류이다.

두 가환 모노이드 사이의 모노이드 준동형 $f\colon M\to N$의 상은 다음과 같다.

$F(f)\colon [(m,m')]_{\sim }\mapsto [(f(m),f(m')]_{\sim }$

그렇다면, ${\mathcal {A}}$의 대상들의 (동형 사상에 대한) 동치류들의 집합 $\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}})$을 생각하면, $(\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )$는 가환 모노이드를 이룬다. 이 경우 ${\mathcal {A}}$의 그로텐디크 군은 다음과 같다.

$\operatorname {K} ({\mathcal {A}})=F(\operatorname {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )$

간혹 일부 문헌에서는 함자 $F$ 자체를 그로텐디크 군이라고 일컫기도 한다.

예

위상 K이론

이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 유한 차원 $\mathbb {K}$-벡터 다발들의 범주 $\operatorname {Vect} (X)$를 생각하자. 이는 가법 범주이며, 그 대상(들의 동형류)들은 집합을 이룬다. 이 경우, 그 위에 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군을 취할 수 있다. 이를 $X$의 $\mathbb {K}$-위상 K이론이라고 한다.

가군

가환환 $R$ 위의 유한 생성 가군들의 아벨 범주 $\operatorname {fgMod} _{R}$를 생각하자. 그렇다면 그 그로텐디크 군 $\operatorname {K} (\operatorname {fgMod} _{R})$를 취할 수 있다.

또한, 가환환 $R$ 위의 유한 생성 사영 가군들의 가법 범주 $\operatorname {fgpMod} _{R}$를 생각하자. 이는 아벨 범주가 아니지만, 최소 퀼런 완전 범주 구조를 부여하여 그로텐디크 군 $\operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} _{R})$를 취할 수 있다.

또한, 가환환 $R$ 위의 모든 단순군들의 동형류들은 집합을 이루며, 따라서 이로 생성되는 자유 아벨 군 $\mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} _{R})}$을 생각할 수 있다.

만약 $R$가 어떤 체 위의 유한 차원 결합 대수라면, 위의 세 아벨 군은 서로 동형이다.

$\operatorname {K} (\operatorname {fgMod} _{R})\cong \operatorname {K} (\operatorname {fgpMod} _{R})\cong \mathbb {Z} ^{\oplus \operatorname {Iso} (\operatorname {simpleMod} _{R})}$

유한 차원 벡터 공간

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간들의 아벨 범주 $\operatorname {fgMod} _{K}$를 생각하자. 이 아벨 범주의 동형류들은 자연수의 집합과 일대일 대응하며, 이는 차원에 의하여 주어진다.

$\dim _{K}\colon \operatorname {Iso} (\operatorname {fgMod} _{K})\to \mathbb {N}$

$\dim K\colon K^{\oplus n}\mapsto n$

벡터 공간의 직합은 차원의 덧셈에 대응한다. 따라서, $\operatorname {fgMod} _{K}$의 그로텐디크 군은 무한 순환군 $F(\mathbb {N} )=\mathbb {Z}$이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 K이론을 다루기 위하여 정의하였다.

외부 링크

• “Grothendieck group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Group completion”. 《nLab》 (영어). 
• “Grothendieck group”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition of a Grothendieck ring” (영어). Math Overflow.