일반위상수학에서 절단점(切斷點, 영어: cut-point)은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.[1][2]

숫자 8 모양의 도형의 목 부분은 차수 2의 절단점이다.

정의

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연결 공간  의 점  절단점 차수(切斷點次數, 영어: cut-point order)는  연결 성분들의 수이다. 연결 공간  의 점  의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해,  가 비연결 공간이라면),   절단점이라고 한다. 절단점 공간(切斷點空間, 영어: cut-point space)은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다.

연결 공간  가 다음 조건을 만족시키면, 연결 순서 위상 공간(連結順序位相空間, 영어: connected ordered topological space) 또는 COTS라고 한다.

  • 임의의 세 원소 부분집합  에 대하여,  의 두 원소가  의 서로 다른 두 연결 성분에 속하게 되는  가 존재한다.

위상 공간  에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점  가 존재한다면,  끝점 공간(-連結空間, 영어: topological space with endpoints)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,   열린닫힌집합  가 존재한다.

성질

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연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.[2]:2799, Theorem 3.2

증명:

연결 공간  의 절단점  가 주어졌다고 하자. 그렇다면  열린닫힌집합  가 존재하며, 이에 대하여

 

 열린집합  닫힌집합  가 존재한다.  연결 공간이므로  일 수밖에 없다. 따라서  이거나  이다. 만약  가 참이라면  열린집합이다. 만약  가 참이라면  닫힌집합이다.

크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 무한 집합이다.[2]:2800, Corollary 3.8 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다.
  • 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.[2]:2800, Theorem 3.7
  • 콤팩트 공간이 아니다.[2]:2800, Corollary 3.10 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 콤팩트 연결 공간은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.[2]:2800, Theorem 3.9

증명 (무한한 수의 닫힌 점의 존재):

크기 2 이상의 절단점 공간  가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점  를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여,  개의 열린집합   개의 열린집합   및 서로 다른  개의 닫힌 점  가 주어졌으며, 또한

 
 
 
 

이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합  이 주어졌다고 하자. 편의상  라고 하자. (만약  라면  를 그 여집합  로 대체한다.)   열린집합이며,   열린집합이므로,   열린집합이다. 마찬가지로,   닫힌집합이며,   닫힌집합이므로,   닫힌집합이다. 이는  의 연결성과 모순이다.

닫힌 점  이 존재. 귀류법을 사용하여,   속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의  에 대하여,  닫힌집합이 아니며,  닫힌집합이며,  고립점들로 이루어지므로,  이다. 따라서  연결 공간이다.   역시 연결 공간이므로,  에 대하여,

 

연결 공간이다. 즉,  은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.

 이며  이며   열린집합  가 존재. 이는  이 닫힌 절단점이며,  이기 때문이다. 만약  이라면   을 교환한다.

 .  연결 공간이며,  이므로,  이거나  인데,  이다. 따라서  이다.

 . 임의의  에 대하여,  이므로  이며, 또한  이다. 따라서  이다.

증명 (비콤팩트성):

1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간  콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다.  의 절단점의 집합은   전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점  가 존재한다.  열린집합이며, 또한  이며  이며  이라고 하자. 그렇다면,    가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상  의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,

 

라고 하고,   위에 다음 부분 순서를 주자.

 

그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.

 는 극대 사슬  를 가짐.  연결 공간이므로  닫힌집합이 아니며,  열린집합이므로  닫힌집합이다. 따라서  이며,  이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬  가 존재한다.

 극대 원소를 갖지 않음. 임의의  가 주어졌다고 하고,  라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점  가 존재한다고 단언한다.  의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의  에 대하여,  닫힌집합이 아니며  닫힌집합이며  의 모든 점은 고립점이므로,  이며, 따라서  연결 공간이다. 임의의  에 대하여,   열린닫힌집합이 아니며,   는 각각  열린집합닫힌집합이므로,    가운데  에 속하는 한 집합은  열린닫힌집합이 아니다. 즉,  연결 공간이다. 따라서, 임의의  를 취했을 때,

 

연결 공간이다. 즉,  은 절단점이다. 이는  인 것과 모순이다. 이제,  가 닫힌 절단점이므로,   열린집합이며,  이며  이라고 하자.  연결 공간이므로,  이거나  이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면,  이며  이므로,  이다. 즉,  이며,  극대 원소가 아니다.

 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개  가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다.  극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여,   극대 원소라고 하자. 그렇다면,   가 존재한다. 그렇다면  은 새로운 사슬이며,  는 그 진부분집합이다. 이는  의 극대성과 모순이다.

 . 귀류법을 사용하여,  공집합이 아니라고 하자.  이므로,  의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다.  닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점  가 존재한다.   열린집합이며,  이며,  라고 하자. 임의의   극대 원소가 아니므로,   가 존재한다. 따라서,

 

이다. 각  연결 공간이며,  이므로,  연결 공간이다. 따라서,  이거나  이다. 편의상 전자가 참이라고 하면,  이며  이므로,  이다.  극대 원소를 갖지 않으므로,  이다. 이는  의 극대성과 모순이다.

유클리드 평면   속의  개의 직선이 절단점 공간일 필요충분조건은, 공점선이거나,  개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

실수

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실수선  는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.

2차원 이상의 유클리드 공간   ( )은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다.

기약 절단점 공간

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정수 집합   위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간칼림스키 직선(-直線, 영어: Khalimsky line)이라고 한다.

즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다.

 

기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, 영어: irreducible cut-point space)은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다.[2]:2801, Theorem 4.5 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.

증명 (칼림스키 직선은 기약 절단점 공간):

칼림스키 직선  연결 공간. 짝수  에 대하여,   의 최소 근방이므로,   연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라,  에 대하여,

 

연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선

 

연결 공간이다.

모든  는 절단점. 이는   이 모두  열린집합이기 때문이다.

모든 진부분집합  연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선  의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 ( ).

  •  
  •  
  •  

 연결 공간이라고 하자. 즉,  는 어떤  에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면,   역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉,   의 비절단점이다.

증명 (기약 절단점 공간은 칼림스키 직선):

기약 절단점 공간  가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선  에서  로 가는 매장  를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점  의 절단점 차수는 2라고 단언한다.   열린닫힌집합이라고 하자.   연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여,  연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면,   의 절단점이다. 임의의  에 대하여,

 

연결 공간이 아니며,  이므로,    가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데  연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서  연결 공간이 아니며,   역시  의 절단점이다. 즉,  는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.

이제, 닫힌 점  을 취하자.    의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,

 

가 주어졌으며, 또한 각  에 대하여,  연결 공간이라고 하자. 또한, 각  의 두 연결 성분  라고 하고,  인 경우  이며,  인 경우  라고 하자. 그렇다면,   연결 공간  이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다.  극한점  을 찾으면 족하다. 만약  이 닫힌 점이라면,  연결 공간이며,  가 기약 절단점 공간이므로,  은 비절단점  을 갖는다. 즉,  연결 공간이다.  열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며,  닫힌집합이므로,   극한점이다. 하지만  연결 공간이 아니므로,   극한점일 수 없다. 따라서,   극한점이다. 만약  고립점이라면,  닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며,  열린집합이므로,   극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로,    의 두 연결 성분이며,    의 두 연결 성분이며,  이며  이라고 정의한다.

이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합

 

및 각  의 두 연결 성분   을 생각하자. 정의에 따라  인 경우  이며,  인 경우  이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

 ,  . 편의상  이라고 하자. 그렇다면,

 
 

은 둘 다 연결 공간이며,  이며  이므로,  이며  이다.

  짝수인 경우 닫힌 점,  홀수인 경우 고립점. 정의에 따라  은 닫힌 점이다. 만약  닫힌집합이라면,   연결 공간이므로,   닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약  열린집합이라면,   닫힌집합이다.

부분집합  기저

 

를 가짐. 홀수  에 대하여,  고립점임은 이미 증명하였다. 짝수  에 대하여,    극한점임을 증명하였으므로,  의 모든 열린 근방  을 원소로 포함한다. 반대로,   열린집합이므로,

 

열린집합이다. 따라서,   의 최소 열린 근방이다.

모든 점의 차수가 3인 절단점 공간

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모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간  는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합  을 만들자.

  • 수평 개구간  에서 시작한다.
  • 이진 유리점   위에 수직 개구간  을 덧붙인다.
  • 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점  의 오른쪽에 수평 개구간  를 덧붙인다.
  • 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.

그렇다면,  의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각   이라고 하자. 이제,

 

라고 하자 ( 클레이니 스타). 또한,   에 대하여, 다음 집합을 정의하자.

 

그렇다면,

 

  위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간  은 다음 성질들을 만족시킨다.[1]

참고 문헌

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  1. Daniel, D.; Mahavier, William S. (2007). “Concerning cut point spaces of order three”. 《International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences》 (영어) 2007 (Article ID 10679). doi:10.1155/2007/10679. ISSN 0161-1712. MR 2336135. Zbl 1145.54013. 2022년 2월 3일에 확인함. 
  2. Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999). “Cut-point spaces”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 127 (9): 2797–2803. doi:10.1090/S0002-9939-99-04839-X. ISSN 0002-9939. MR 1600152. Zbl 0917.54037.