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기저 (위상수학)

일반위상수학에서, 위상 공간기저(基底, 영어: base, basis)는 모든 열린집합을 합집합을 통해 생성할 수 있는 열린집합들이다. 많은 경우, 열린집합을 직접 정의하는 것보다 기저나 부분 기저를 통해 위상을 기술하는 것이 더 편리하다.

정의편집

집합  에 대해, 다음 성질을 만족하는  의 부분 집합들의 족   기저라고 한다.

  •   덮개이다. 즉,  이다. 즉, 임의의  에 대하여  를 만족하는  가 존재한다.
  • 임의의  에 대하여,  덮개를 이루는  가 존재한다 (즉,  ). 다시 말해, 임의의   에 대하여,   가 존재한다.

이때 기저  에 의해 생성되는 위상 (열린집합들의 족)  는 다음과 같다.

 

즉, 기저  로 생성되는 위상   의 부분 집합들의 합집합들로 구성된다. 다시 말해,  의 부분 집합  열린집합필요 충분 조건은, 임의의  에 대하여  를 만족하는  가 존재하는 것이다.

부분 기저편집

집합   속의 임의의 집합족  가 주어졌다고 하자. 이때,  로부터 생성되는 기저(영어: base generated by  )  는 다음과 같다.

 

즉,  로부터 생성되는 기저는  의 유한 교집합들로 구성된다. 이때   부분 기저(部分基底, subbase/subbasis)라 한다.

성질편집

위상 공간의 기저는 유일하지 않다. 예를 들어, 실수 집합의 위상 공간에 대응하는 기저는 열린구간들이 될 수 있고, 혹은 끝점이 유리수인 열린구간들이나 반대로 끝점이 무리수인 열린구간들도 기저가 될 수 있다.

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비이산 위상편집

비이산 공간   을 기저로 하며, 이 기저는 공집합을 부분 기저로 한다.

이산 위상편집

이산 공간  한원소 집합들의 족  을 기저로 한다.

거리 위상편집

거리 공간  은 (거리 위상을 부여하면) 열린 공들의 족

 

을 기저로 한다. 또한 반지름이 유리수인 열린 공들의 족

 

역시 이 위상의 기저이다. 이처럼 위상 공간의 기저는 유일하지 않다.

순서 위상편집

전순서 집합  은 (순서 위상을 부여하면) 열린구간들의 족

 

을 기저로 한다. 또한 이 기저는 끝점에 무한대를 포함하는 열린구간들의 족

 

을 부분 기저로 한다.

외부 링크편집