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정의편집

절대 문장편집

1차 논리 언어  논리식   개의 자유 변수  를 갖는다고 하자. 또한,  -구조들의 모임  이 주어졌다고 하자. (예를 들어,  은 어떤  의 문장들의 집합  이 성립하는  -구조들의 모임일 수 있다.)

1차 논리 언어  의 문장  이 다음 조건을 만족시킨다면,   속에서 절대 문장(영어: absolute sentence)이라고 한다.

  • 임의의 두  -구조  에 대하여,  이다. 즉,  에 속하는 모든 구조에서 동시에 참이거나 동시에 거짓이다.

상향·하향 절대 논리식편집

1차 논리 언어  의 구조  이 주어졌다고 하자.

 -논리식   개의 자유 변수  를 갖는다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면,   -하향 절대 논리식(영어: downward-absolute formula)이라고 한다.

 의 임의의  -부분 구조   및 임의의  에 대하여,  이다.

마찬가지로, 만약 다음 조건이 성립한다면,   -상향 절대 논리식(영어: upward-absolute formula)이라고 한다.

 을 부분 구조로 포함하는 임의의  -구조   및 임의의  에 대하여,  이다.

추이적 절대 논리식편집

집합론의 명제의 경우, 폰 노이만 전체  는 집합론의 언어  고유 모임 구조이다. 이 경우,  -논리식  이 다음 조건을 만족시킨다면,   -추이적 절대 논리식이라고 한다.[1]:117, Definition IV.3.1(2)

 표준 추이적 모형   및 집합  에 대하여,  

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다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이다.

  •  
  •  는 (폰 노이만 정의) 순서수이다.
  •  는 유한 순서수이다.
  •  
  •  함수의 그래프이다.

다음과 같은 논리식들은 추이적 절대 논리식이 아니다.

숀필드 절대성 정리편집

체르멜로-프렝켈 집합론( )의 모형  이 주어졌을 때, 그 속의 자연수 집합  페아노 공리계의 모형을 이룬다. 체르멜로-프렝켈 집합론( )의 표준 추이적 모형  과, 그 속의 구성 가능 전체  를 생각하자. 그렇다면,  을 포함하는,  의 부분 구조 가운데  의 모형인 것들의 집합

 

을 생각하자. 그렇다면 이 모형들의 자연수 집합들

 

을 생각할 수 있다.

숀필드 절대성 정리(영어: Shoenfield absoluteness theorem)에 따르면, 페아노 공리계의 언어의   문장과   문장들은  에 대하여 절대 문장이다.

참고 문헌편집

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함.