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추이적 모형

(표준 추이적 모형에서 넘어옴)

집합론에서, 추이적 모형(推移的模型, 영어: transitive model)은 내부적 포함 관계가 외부적 포함 관계와 같은, 추이적 집합 위에 정의된 집합론 모형이다.

정의편집

집합론의 언어  은 하나의 이항 관계  만을 갖는 언어이다. 이 언어의 구조  가 주어졌다고 하자. 만약   (내적인 연산)이   (외적인 연산)과 일치한다면,  표준 구조(標準構造, 영어: standard structure)라고 한다.

 의 표준 구조  에 대하여, 만약  추이적 집합이라면,  추이적 표준 구조(推移的標準構造, 영어: transitive standard structure)라고 한다.

 의 구조  에서, 만약  정초 관계라면,  정초 구조(整礎-, 영어: well founded structure)라고 한다.

 의 구조  이 다음 조건을 만족시킨다면, 확장적 구조(영어: extensional structure)라고 한다.

 

즉,  에서 체르멜로-프렝켈 집합론의 확장 공리가 성립해야 한다.

성질편집

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 무모순성을 함의하지만, 그 반대 함의는 성립하지 않는다.

그로텐디크 전체선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형이다. 그러나 그로텐디크 전체는 모든 원소의 멱집합을 포함하여야 하므로, 이는 추이적 모형보다 더 강한 개념이다.

정초 구조의 개념은 절대적이지 않으며, 외적인 개념이다. 구체적으로, 다음과 같은  -문장  를 생각하자. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론정칙성 공리이다.)

 

즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.

 

 의 구조  에 대하여, 만약  이 정칙 구조라면  이지만, 반대 방향의 함의는 성립하지 않는다.

모스토프스키 붕괴편집

 의 모형  이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 정초 구조이다.
  • 확장적 구조이다.

그렇다면, 모스토프스키 붕괴 정리(Mostowski崩壞定理, 영어: Mostowski collapse theorem)에 따르면,  은 추이적 표준 구조  과 동형이다. 또한, 이러한 동형은 유일하다. 구체적으로, 이 동형  은 다음과 같다.

 
 

재귀적인 정의이지만, 정초 관계 조건에 따라서 이는 잘 정의된 대상이다.

따라서, 정초 확장적 구조들의 각 동형류는 추이적 집합을 표준적인 대표원으로 갖는다.

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도달 불가능한 기수  에 대하여, 폰 노이만 전체의 단계  체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 표준 모형이다.

홀수의 전순서 집합  를 생각해 보자. 이는 모스토프스키 붕괴 정리에 의하여, 이는

 

로 대응된다. 이는 순서수의 폰 노이만 정의이므로, 홀수의 전순서 집합이 모든 자연수의 완전 순서 집합으로 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

역사편집

모스토프스키 붕괴 정리는 폴란드의 수학자 안드제이 모스토프스키(Andrzej Mostowski)가 증명하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Mostowski, Andrzej (1949). “An undecidable arithmetical statement”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 36. ISSN 0016-2736. Zbl 0039.00802. 

외부 링크편집