절대 연속 측도

측도론에서 절대 연속 측도(絶對連續測度, 영어: absolutely continuous measure)는 어떤 주어진 측도에 일종의 ‘무게’를 주어 얻을 수 있는 측도이다. 이에 따라, 원래 측도의 값이 0이면, 이에 대한 절대 연속 측도의 값 역시 0이어야 한다. 이 경우, 이 ‘무게’는 라돈-니코딤 도함수(Radon-Nikodym導函數, 영어: Radon–Nikodym derivative)라고 하며, 미적분학에서의 도함수의 개념의 일반화이다. 라돈-니코딤 도함수의 존재를 라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym定理, 영어: Radon–Nikodym theorem)라고 한다. 이에 따라, 절대 연속성은 일종의 미적분학의 기본 정리가 성립할 필요 조건이다.

정의

시그마 대수 ${\mathcal {F}}$ 위의 두 측도 $\mu$, $\nu$가 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, $\mu$가 $\nu$-절대 연속 측도라고 하며, $\mu \ll \nu$로 표기한다.^{:122, §4.2}

$\forall S\in {\mathcal {F}}\colon (\nu (S)=0\implies \mu (S)=0)$

즉, $\nu$-영집합이 항상 $\mu$-영집합이어야 한다. (대략, 이는 라돈-니코딤 도함수 $\mathrm {d} \mu /\mathrm {d} \nu$에서, “분자”가 0이 아니라면 “분모” 역시 0이 아니어야 함으로 생각할 수 있다.)

부호 측도(영어: signed measure) $\mu =\mu _{+}-\mu _{-}$의 경우, 만약 $|\mu |=\mu _{+}+\mu _{-}$가 $\nu$-절대 연속 측도라면 $\mu$역시 $\nu$-절대 연속 측도라고 한다.^{:125, §4.2}

보통 $\nu$는 (유클리드 공간의 경우) 르베그 측도나^{:122, §4.2} (위상군의 경우) 왼쪽 하르 측도를 사용한다.

성질

라돈-니코딤 정리

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$
• 시그마 유한 측도 $\nu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$
• 시그마 유한 측도 $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$. 또한, $\mu \ll \nu$라고 하자.

라돈-니코딤 정리(영어: Radon–Nikodym theorem)^{:123, Theorem 4.2.2:115, Theorem 4.1.1(ii)}에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 가측 함수

${\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\colon (X,{\mathcal {F}})\to \left([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty ))\right)$

가 존재한다.

$\forall S\in {\mathcal {F}}\colon \mu (S)=\int _{S}{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}\;\mathrm {d} \nu$

(여기서 ${\mathcal {B}}([0,\infty )$는 음이 아닌 실수의 보렐 시그마 대수이다.) 이 조건을 만족시키는 가측 함수를 라돈-니코딤 도함수라고 한다. 또한, 라돈-니코딤 도함수는 $\nu$-거의 어디서나 유일하다. 즉, 위 데이터에 대한 두 라돈-니코딤 도함수 $f$, $f'$에 대하여, $\{x\in X\colon f(x)\neq f'(x)\}$는 $\nu$-영집합이다.

위 조건에 의하여, 임의의 $\nu$-적분 가능 가측 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음이 추가로 성립한다.

$\int _{X}f\;\mathrm {d} \nu =\int _{X}f{\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}\;\mathrm {d} \mu$

라돈-니코딤 도함수의 성질

가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$ 위의 세 시그마 유한 측도 $\mu ,\nu ,\lambda$가 주어졌으며,

$\mu \ll \lambda$

$\nu \ll \lambda$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\frac {\mathrm {d} (\nu +\mu )}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\qquad (\lambda {\text{-a.e.}})$

가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$ 위의 세 시그마 유한 측도 $\mu ,\nu ,\lambda$가 주어졌으며,

$\nu \ll \mu \ll \lambda$

일 경우, 다음이 성립한다.

${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\qquad (\lambda {\text{-a.e.}})$

특히, 만약 $\nu =\lambda$인 경우 (즉, $\mu \ll \nu \ll \mu$), 다음이 성립한다.

${\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} \nu }}=\left({\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-a.e.}}$

보다 일반적으로, 유한 복소측도

$\mu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {C}$

및 시그마 유한 측도

$\nu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$

에 대하여, 만약

$\mu \ll \nu$

라면, 다음이 성립한다.

${\frac {\mathrm {d} |\nu |}{\mathrm {d} \mu }}=\left|{\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}\right|$

실수선 위의 절대 연속 측도

실수 닫힌구간 위에 정의된 증가 함수

$f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

$\forall x,y\in [a,b]\colon f(x)\leq f(y)$

가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 $\epsilon \in \mathbb {R} ^{+}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $\delta _{\epsilon }\in \mathbb {R} ^{+}$가 존재한다면, $f$를 절대 연속 함수(絶對連續函數, 영어: absolutely continuous function)라고 한다.^{:128, Definition 4.4.1}

임의의 실수열 $a\leq \dotsb <x_{-1}<y_{-1}\leq x_{0}<y_{0}\leq x_{1}<y_{1}\leq x_{2}<y_{2}\dotsb \leq b$에 대하여, 만약 $\textstyle \sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta _{\epsilon }$이라면, $\textstyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\epsilon$이다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:131, Theorem 4.4.3}

• 르베그-스틸티어스 측도 $\mathrm {d} f$가 (르베그 측도에 대하여) 절대 연속 측도이다.
• 임의의 닫힌구간 $[a,b]$에 대하여, $f\upharpoonright [a,b]$는 절대 연속 함수이다.

절대 연속 함수는 항상 연속 함수이며, 거의 어디서나 도함수를 갖는다. 이 도함수는 $\mu$의 라돈-니코딤 도함수에 의하여 주어진다. 또한, 정의에 따라 이는 르베그 적분 가능 함수이며, 그 적분은 $f$와 일치한다 (미적분학의 기본 정리). 정의에 따라, 모든 립시츠 연속 함수는 절대 연속 함수이다.

예

칸토어 함수

$f\colon [0,1]\to [0,1]$

는 연속 함수이지만 절대 연속 함수가 아니다. 즉, 그 르베그-스틸티어스 측도는 절대 연속 측도가 아니다.

비(非) 시그마-유한 측도에 대한 라돈-니코딤 정리의 실패

라돈-니코딤 정리는 일반적으로 시그마 유한 측도가 아닌 절대 연속 측도에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어,^{:125, Example 4.2.3:117, Remark 4.1.1} 보렐 시그마 대수를 부여한 닫힌구간 $[0,1]$ 위의 셈측도

$\mu \colon {\mathcal {B}}([0,1])\to [0,\infty ]$

는 (르베그 측도에 대하여) 절대 연속 측도이다. 그러나 이는 라돈-니코딤 도함수를 갖지 않는다. 즉,

$\nu (S)=\int _{S}f\;\mathrm {d} \mu \qquad \forall S\in {\mathcal {B}}([0,1])$

가 성립하는 가측 함수 $f\colon [0,1]\to [0,\infty )$가 존재하지 않는다.

역사

라돈-니코딤 정리의 경우, 1913년에 요한 라돈이 유클리드 공간의 경우에 대하여 증명하였으며, 이를 오톤 마르친 니코딤이 1930년에 일반적인 가측 공간에 대하여 일반화하였다.

응용

라돈-니코딤 정리는 확률론에서 단일한 공간에 대해 정의된 여러 개의 확률 측도를 연결할 때 매우 중요하게 쓰인다. 가령, 라돈-니코딤 정리는 조건부 기댓값의 존재성을 증명한다.

금융공학에서는 기르사노프 정리를 통해 실제 측도에서 위험중립측도를 도출해내는 데에 라돈-니코딤 정리가 쓰이기도 한다. 파생상품의 경우 대부분 위험중립측도가 존재해야만 적정 가격을 구할 수 있기 때문에 위험중립측도가 파생 상품 가격 결정에서 차지하는 중요성은 상당하다.

참고 문헌

• Bradley, Richard C. (1989년 5월). “An elementary treatment of the Radon-Nikodym derivative”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 96 (5): 437–440. doi:10.2307/2325153. ISSN 0002-9890. JSTOR 2325153. 

외부 링크

• “Absolute continuity”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Absolutely continuous measures”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Radon-Nikodým theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Differentiation of measures”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Rowland, Todd. “Absolutely continuous”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “Radon-Nikodym derivative”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Rowland, Todd. “Radon-Nikodym theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Absolutely continuous measure”. 《nLab》 (영어). 
• “Radon–Nikodym derivative”. 《nLab》 (영어).