집합론에서 점류(點類, 영어: pointclass)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.

정의

편집

구체적 범주  가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주   위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.

 
 
 

그렇다면,    위의 준층을 이룬다.  부분 준층  위의 점류라고 한다. 즉, 구체적으로 점류  는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 임의의 대상  에 대하여, 집합족  
  • 또한, 임의의 부분 집합   및 사상  에 대하여, 만약  라면  이다.

구체적 범주   위의 점류  에 대하여,  는 다음과 같은 점류이다.

 

이를  쌍대 점류(雙對點類, 영어: dual pointclass)라고 한다.[1]:167, §22.A 또한,   위의 점류들의 집합  에 대하여,

 
 

역시 점류이다. 특히,   모호 점류(模糊點類, 영어: ambiguous pointclass)라고 한다.[1]:167, §22.A[2]:114, §3D

흔히  폴란드 공간연속 함수구체적 범주  이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간보렐 가측 함수구체적 범주  를 사용한다.

성질

편집

임의의 기수   및 점류  에 대하여, 다음 조건이 성립한다면,    미만 합집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

  • 임의의 대상   에 대하여, 만약  라면  이다.

임의의 기수   및 점류  에 대하여, 다음 조건이 성립한다면,    미만 교집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

  • 임의의 대상   에 대하여, 만약  라면  이다.

만약  라면,  여집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

폴란드 공간의 점류

편집

 폴란드 공간연속 함수구체적 범주  인 경우를 생각하자.

  위의 점류  에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.

  • 임의의 폴란드 공간   및 집합렬  에 대하여,  이라면,  합리적 점류(合理的點類, 영어: reasonable pointclass)라고 한다.:171, §22.C (여기서  자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)

  위의 점류  기수  가 다음 조건을 만족시킨다면,   -분리 성질(영어:  -separation property)을 만족시킨다고 한다.[1]:170, Definition 22.14

임의의 폴란드 공간   및 임의의 집합족  에 대하여, 만약  이며  이라면,  이자   가 존재한다.

  위의 점류  기수  가 다음 조건을 만족시킨다면,  -축소 성질(영어:  -reduction property)을 만족시킨다고 한다.[1]:170, Definition 22.14

임의의 폴란드 공간   및 임의의 집합족  에 대하여, 만약  이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족  가 존재한다.
  •  
  •  
  •  

  위의 점류  가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면,  는 가산 분리 성질을 갖는다.

균등화 성질

편집
 
집합   (푸른색)의 균등화   (붉은색)

집합  ,  부분 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  균등화 집합(영어: uniformizing set)  은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.

  • 임의의  에 대하여,   가 유일하게 존재한다.

폴란드 공간  가 주어졌을 때,   위의 점류  가 다음 조건을 만족시킨다면,  -균등화 성질( -均等化性質, 영어:  -uniformization property)을 만족시킨다고 한다.

임의의 폴란드 공간  부분 집합  에 대하여,  의 균등화  가 존재한다.

모든 폴란드 공간  에 대하여  -균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, 균등화 성질을 만족시킨다고 한다.

그렇다면,   위의 점류  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
  • 합리적이며,  -균등화 성질을 갖는다. ( 가산 무한 이산 공간이다.)

계급 점류

편집

구체적 범주   위의 점류  폴란드 공간   및 그 부분 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수  에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는,   위의 두 이항 관계  ,  가 존재한다면,    위의  -계급 함수( -階級函數, 영어:  -rank)라고 한다.

  •  
  •  
  • 임의의   에 대하여,  이다.

  위의 점류  가 다음 조건을 만족시킨다면, 계급 점류(영어: ranked pointclass)라고 한다.[1]:171, Definition 22.14

임의의 폴란드 공간   에 대하여,  -계급 함수가 존재한다.

계급 점류  가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉,  이다.
  • 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.

그렇다면,  는 가산 축소 성질과  -균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.

눈금

편집

폴란드 공간  의 부분 집합   위의 계급 함수의 열  이 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금(영어: scale)이라고 한다.

  속의 임의의 점렬  에 대하여, 만약
  •    속에서  로 수렴하며,
  •  이 되는   가 존재한다면,
 이자  이다.

  위의 점류   및 폴란드 공간   및 그 부분 집합    위의 눈금  에 대하여, 만약 모든  에 대하여   -계급 함수라면,   -눈금이라고 한다.

  위의 점류  가 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금 점류(영어: scaled pointclass)라고 한다.[1]:171, Definition 22.14

임의의  에 대하여,   위의  -눈금이 존재한다.

눈금 점류는 항상 계급 점류이다.

  위의 눈금 점류  가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉,  이다.
  • 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
  • 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
  • (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의  에 대하여,  이다.

그렇다면,  는 균등화 성질을 갖는다.

즉, 만약 폴란드 공간의 점류  가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉,  이다.
  • 보렐 가측 함수원상에 대하여 닫혀 있다.
  • 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
  • 합리적 점류이다.

그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.

눈금 점류 계급 점류 가산 축소 점류 가산 분리 점류의 쌍대 점류
균등화 점류  -균등화 점류

주기성 정리

편집

  위의 점류  가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

  • 모든 보렐 집합을 포함한다.
  • 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
  • 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
  • 사영에 대하여 닫혀 있다.
  • 임의의  에 대하여,  결정 집합이다.
  • 눈금 점류이다.

그렇다면, 주기성 정리(영어: periodicity theorem)에 따르면,   역시 눈금 점류이다.[1]:336–337, Theorem 39.8

특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다.  은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우,   는 눈금 점류가 된다.

보렐 위계의 단계들  ,  ,    위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

사영 위계의 단계들  ,  ,    위의 점류를 이루며, 또한   위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

각주

편집
  1. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002. 
  2. Moschovakis, Yiannis N. (2009). 《Descriptive set theory》 (PDF). Mathematical Surveys and Monographs (영어) 155 2판. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4813-5.