점류

집합론에서 점류(點類, 영어: pointclass)는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.

정의

구체적 범주 $F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.

$\operatorname {Pow} \colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }$

$\operatorname {Pow} \colon X\mapsto \operatorname {Pow} (X)$

$\operatorname {Pow} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{-1}\colon \operatorname {Pow} (Y)\to \operatorname {Pow} (X)\right)$

그렇다면, $\operatorname {Pow} \circ F$는 ${\mathcal {C}}$ 위의 준층을 이룬다. $\operatorname {Pow} \circ F$의 부분 준층을 $({\mathcal {C}},F)$ 위의 점류라고 한다. 즉, 구체적으로 점류 $\Gamma$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$에 대하여, 집합족 $\Gamma (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)$
• 또한, 임의의 부분 집합 $B\subseteq Y$ 및 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여, 만약 $B\in \Gamma (Y)$라면 $f^{-1}(B)\in \Gamma (X)$이다.

구체적 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 점류 $\Gamma$에 대하여, ${\check {\Gamma }}$는 다음과 같은 점류이다.

${\check {\Gamma }}(X)=X\setminus \Gamma (X)$

이를 ${\boldsymbol {\Gamma }}$의 쌍대 점류(雙對點類, 영어: dual pointclass)라고 한다.^{:167, §22.A} 또한, ${\mathcal {C}}$ 위의 점류들의 집합 $\{\Gamma _{i}\}_{i\in I}$에 대하여,

$\bigcap _{i\in I}\Gamma _{i}\colon X\mapsto \bigcap _{i\in i}\Gamma _{i}(X)$

$\bigcup _{i\in I}\Gamma _{i}\colon X\mapsto \bigcup _{i\in i}\Gamma _{i}(X)$

역시 점류이다. 특히, $\Gamma \cap {\check {\Gamma }}$를 $\Gamma$의 모호 점류(模糊點類, 영어: ambiguous pointclass)라고 한다.^{:167, §22.A:114, §3D}

흔히 $({\mathcal {C}},F)$가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 $\operatorname {PolTop}$이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 $\operatorname {stdBorelMeasbl}$를 사용한다.

성질

임의의 기수 $\kappa$ 및 점류 $\Gamma$에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, $\Gamma$가 $\kappa$ 미만 합집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

• 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 및 ${\mathcal {A}}\subseteq \Gamma (X)$에 대하여, 만약 $|{\mathcal {A}}|<\kappa$라면 $\textstyle \bigcup {\mathcal {A}}\in \Gamma (X)$이다.

임의의 기수 $\kappa$ 및 점류 $\Gamma$에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, $\Gamma$가 $\kappa$ 미만 교집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

• 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 및 ${\mathcal {A}}\subseteq \Gamma (X)$에 대하여, 만약 $|{\mathcal {A}}|<\kappa$라면 $\textstyle \bigcap {\mathcal {A}}\in \Gamma (X)$이다.

만약 $\Gamma ={\check {\Gamma }}$라면, $\Gamma$가 여집합에 대하여 닫혀 있다고 한다.

폴란드 공간의 점류

$({\mathcal {C}},F)$가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 $\operatorname {PolTop}$인 경우를 생각하자.

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.

• 임의의 폴란드 공간 $X$ 및 집합렬 $A_{0},A_{1},\dots \subseteq X$에 대하여, $A\in X\times \mathbb {N} \iff \forall i\in \mathbb {N} \colon A_{i}\in \Gamma (X)$이라면, $\Gamma$가 합리적 점류(合理的點類, 영어: reasonable pointclass)라고 한다.^{:171, §22.C} (여기서 $\mathbb {N}$은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$ 및 기수 $\kappa$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\Gamma$가 $\kappa$-분리 성질(영어: $\kappa$-separation property)을 만족시킨다고 한다.^{:170, Definition 22.14}

임의의 폴란드 공간 $X$ 및 임의의 집합족 $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)$에 대하여, 만약 $|I|<\kappa$이며 $\textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing$이라면, $\forall i\in I\colon A_{i}\subseteq B_{n}$이자 $\textstyle \bigcap _{i\in I}B_{i}=\varnothing$인 $B_{0},B_{1},\dots \in \Gamma (X)\cap {\check {\Gamma }}(X)$가 존재한다.

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$ 및 기수 $\kappa$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\kappa$-축소 성질(영어: $\kappa$-reduction property)을 만족시킨다고 한다.^{:170, Definition 22.14}

임의의 폴란드 공간 $X$ 및 임의의 집합족 $\{A_{i}\}_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)$에 대하여, 만약 $|I|<\kappa$이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 $\{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq \Gamma (X)$가 존재한다.

• $\forall i\in I\colon B_{i}\subseteq A_{n}$
• $\forall i,j\in I\colon i\neq j\implies B_{i}\cap B_{j}=\varnothing$
• $\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}B_{i}$

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, ${\check {\Gamma }}$는 가산 분리 성질을 갖는다.

균등화 성질

집합 $R$ (푸른색)의 균등화 $f$ (붉은색)

집합 $X$, $Y$ 및 부분 집합 $R\subseteq X\times Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $R$의 균등화 집합(영어: uniformizing set) $S\subseteq R$은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.

• 임의의 $(x,y)\in R$에 대하여, $(x,y')\in S$인 $y'\in Y$가 유일하게 존재한다.

폴란드 공간 $Y$가 주어졌을 때, $\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$가 다음 조건을 만족시킨다면, $Y$-균등화 성질($Y$-均等化性質, 영어: $Y$-uniformization property)을 만족시킨다고 한다.

임의의 폴란드 공간 $X$과 부분 집합 $R\in \Gamma (X\times Y)$에 대하여, $R$의 균등화 $S\in \Gamma (X\times Y)$가 존재한다.

모든 폴란드 공간 $Y$에 대하여 $Y$-균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, 균등화 성질을 만족시킨다고 한다.

그렇다면, $\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
• 합리적이며, $\mathbb {N}$-균등화 성질을 갖는다. ($\mathbb {N}$은 가산 무한 이산 공간이다.)

계급 점류

구체적 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 점류 $\Gamma$와 폴란드 공간 $X$ 및 그 부분 집합 $A\subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 $\phi \colon A\to \operatorname {Ord}$에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는, $X$ 위의 두 이항 관계 $\leq _{\phi }^{\Gamma }$, $\leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}$가 존재한다면, $\phi$가 $A$ 위의 $\Gamma$-계급 함수($\Gamma$-階級函數, 영어: $\Gamma$-rank)라고 한다.

• $\leq _{\phi }^{\Gamma }\in \Gamma (X^{2})$
• $\leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}\in {\check {\Gamma }}(X^{2})$
• 임의의 $a\in A$ 및 $x\in X$에 대하여, $(x\in A\land \phi (x)\leq \phi (a))\iff x\leq _{\phi }^{\Gamma }a\iff x\leq _{\phi }^{\check {\Gamma }}a$이다.

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$가 다음 조건을 만족시킨다면, 계급 점류(영어: ranked pointclass)라고 한다.^{:171, Definition 22.14}

임의의 폴란드 공간 $X$ 및 $A\in \Gamma (X)$에 대하여, $\Gamma$-계급 함수가 존재한다.

계급 점류 $\Gamma$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{0}\subseteq \Gamma$이다.
• 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.

그렇다면, $\Gamma$는 가산 축소 성질과 $\mathbb {N}$-균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.

눈금

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$ 위의 계급 함수의 열 $(\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$이 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금(영어: scale)이라고 한다.

$A$ 속의 임의의 점렬 $(a_{i})_{i<\omega }\subseteq A$에 대하여, 만약

• $(a_{i})_{i<\omega }$는 $X$ 속에서 $x\in X$로 수렴하며,
• $\forall i\geq N\colon \phi _{n}(a_{i})=\lambda _{n}$이 되는 $N_{n}<\omega$와 $\lambda _{n}\in \operatorname {Ord}$가 존재한다면,

$x\in A$이자 $\forall i\in \mathbb {N} \colon \phi _{i}(x)\leq \lambda _{i}$이다.

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$ 및 폴란드 공간 $X$ 및 그 부분 집합 $A\subseteq X$ 및 $A$ 위의 눈금 $(\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$에 대하여, 만약 모든 $i\in \mathbb {N}$에 대하여 $\phi _{i}\colon A\to \operatorname {Ord}$가 $\Gamma$-계급 함수라면, $(\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$를 $\Gamma$-눈금이라고 한다.

$\operatorname {PolTop}$ 위의 점류 $\Gamma$가 다음 조건을 만족시킨다면, 눈금 점류(영어: scaled pointclass)라고 한다.^{:171, Definition 22.14}

임의의 $A\in \Gamma$에 대하여, $A$ 위의 $\Gamma$-눈금이 존재한다.

눈금 점류는 항상 계급 점류이다.

$\operatorname {stdBorelMeasbl}$ 위의 눈금 점류 $\Gamma$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}\subseteq \Gamma$이다.
• 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
• 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
• (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 $A\in \Gamma (X\times Y)$에 대하여, $\operatorname {\forall } ^{Y}(A)=\{x\in X\colon \{x\}\times Y\subseteq A\}\in \Gamma (X)$이다.

그렇다면, $\Gamma$는 균등화 성질을 갖는다.

즉, 만약 폴란드 공간의 점류 $\Gamma$가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, ${\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}\subseteq \Gamma$이다.
• 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다.
• 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
• 합리적 점류이다.

그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.

눈금 점류	⇒	계급 점류	⇒	가산 축소 점류	⇒	가산 분리 점류의 쌍대 점류
⇓				⇳
균등화 점류	⇒			$\mathbb {N}$-균등화 점류

주기성 정리

$\operatorname {stdBorelMeasbl}$ 위의 점류 $\Gamma$가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

• 모든 보렐 집합을 포함한다.
• 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
• 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
• 사영에 대하여 닫혀 있다.
• 임의의 $S\in \Gamma (\mathbb {N} ^{\aleph _{0}})\cap {\check {\Gamma }}(\mathbb {N} ^{\aleph _{0}})$에 대하여, $S$는 결정 집합이다.
• 눈금 점류이다.

그렇다면, 주기성 정리(영어: periodicity theorem)에 따르면, $\forall ^{\mathbb {N} ^{\aleph _{0}}}\Gamma$ 역시 눈금 점류이다.^{:336–337, Theorem 39.8}

특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, ${\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}$과 ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}$는 눈금 점류가 된다.

예

보렐 위계의 단계들 ${\boldsymbol {\Delta }}_{\alpha }^{0}$, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{\alpha }^{0}$, ${\boldsymbol {\Pi }}_{\alpha }^{0}$은 $\operatorname {PolTop}$ 위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).

사영 위계의 단계들 ${\boldsymbol {\Delta }}_{n}^{1}$, ${\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}$, ${\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}$은 $\operatorname {PolTop}$ 위의 점류를 이루며, 또한 $\operatorname {stdBorelMeasbl}$ 위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).