점마다 수렴

(점별 수렴에서 넘어옴)

수학에서 점마다 수렴(영어: pointwise convergent), 또는 점별수렴(點別收斂)하는 함수은, 모든 점에서 각각 수렴하는 함수열이다.

정의편집

 을 동일한 정의역과 공역을 공유하는 함수들의 열이라고 하자.  의 어떤 점  에서의 수렴성은, 수열  의 수렴성으로 정의된다.  점마다 수렴한다는 것은, 어떤 함수  가 존재하여, 임의의  에 대해

 

이라는 것이다. 이를

 

로 나타낸다.

성질편집

점마다 수렴균등 수렴(영어 : uniform convergence)과 흔히 비교되는 개념이다. 수열 { fn }이 f로 균등 수렴할 경우,

 

와 같이 나타내며 이는

 

를 만족하는 경우를 뜻한다.

균등 수렴은 점마다 수렴의 충분 조건이다. 즉 모든 균등 수렴 수열은 점마다 수렴하지만, 점마다 수렴하는 수열이 반드시 균등 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어

 

와 같은 수열은 [0,1)에서 점마다 수렴하지만 균등 수렴하지는 않는다. 이 때 연속 함수의 수열의 극한이 균등 수렴하지 않으면 그 함수는 불연속 함수로 수렴한다. 예를 들어 균등 수렴하지 않는 함수인

 

의 값은 x가 정수일 때는 1이며 x가 정수가 아닐 때에는 0이다. 따라서 이는 모든 정수에 대해 불연속 함수이다. 이 명제에 대한 증명은 균등 수렴#균등 수렴 정리를 참고하라.

점마다 수렴하는 함수 fn의 값은 실수에 국한되지 않으며 어떤 위상 공간 상의 값도 허용된다. 반면 균등 수렴의 경우에는 일반적인 위상 공간 상의 함수에 대해서는 성립하지 않으며 거리 공간, 또는 보다 일반적으로 균등 공간 상의 함수에서 성립한다.

위상 수학편집

점마다 수렴은 X가 정의역, Y가 공역인 YX 공간 상에서의 곱위상의 수렴과 동일하다. 공역 Y가 콤팩트 공간이라면, 티호노프의 정리에 따라 YX 공간 역시 콤팩트 공간이다.

거의 어디서나의 수렴편집

측도론에서, 측정 가능한 공간 상에서 정의된 측정 가능한 함수에서 거의 어디서나의 수렴을 생각할 수 있다. 이는 거의 어디서나 점마다 수렴함을 의미한다. 예고로프의 정리에 따르면 유한한 측정 영역 상에서의 거의 어디서나의 점마다 수렴은 그보다 약간 작은 영역 상에서의 균등 수렴을 수반한다.

참고 문헌편집