접촉기하학

접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.

정의

$M$이 $2n+1$차원의 매끄러운 다양체라고 하자. $M$ 위의 접촉 형식(接觸形式, 영어: contact form)는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분 형식 $\alpha$이다.

• $\alpha \wedge (d\alpha )^{n}\neq 0$.

접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자. $\lambda \colon M\to \mathbb {R}$가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면,

$\alpha \sim \lambda \alpha$.

이 동치관계에 대한 동치류 $[\alpha ]$를 접촉 구조(接觸構造, 영어: contact structure)라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

접촉 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 접촉다양체(接觸多樣體, 영어: contact manifold)라고 한다.

레브 벡터장

접촉 형식 $\alpha$가 주어지면, 레브 벡터장(Reeb vector場, Reeb vector field)은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 $X$이다.

• $X\lrcorner d\alpha =0$ ($\lrcorner$는 내부적(interior product)
• $X\lrcorner \alpha =1$.

이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

르장드르 부분다양체

심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분 다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 르장드르 부분 다양체(Legendrian submanifold)라고 한다. $M$이 접촉다양체이고, $\alpha$가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 $N\subset M$을 $M$의 르장드르 부분 다양체라고 한다.

• 모든 $x\in N$에서, $T_{x}N\lrcorner \alpha =0$.

이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

접촉다양체의 심플렉틱화

$2n+1$차원 접촉다양체 $M$이 주어지면, 다음과 같이 $M$을 부분 다양체로 갖는 $2n+2$차원 심플렉틱 다양체 $({\hat {M}},\omega )$를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 심플렉틱화(symplectic化, symplectization)라고 한다.

다양체로서, ${\hat {M}}=M\times (0,\infty )$이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 $\omega$를 정의할 수 있다. $M$의 국소좌표계 $x^{i}$를 잡고, $0<\lambda <\infty$가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, $\alpha$가 $M$의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 $(x^{i},\lambda )$에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다.

$\omega =d(\lambda \alpha )=d\lambda \wedge \alpha +\lambda d\alpha$.

해밀턴 역학과의 관계

해밀토니언이 시간에 의존하지 않는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 심플렉틱 기하학으로 다루어진다. 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

일반화 위치 $q^{i}$와 일반화 운동량 $p_{i}$, 시간 $t$를 좌표로 하는 $2n+1$차원 공간 $M$을 생각하자. 이를 확장 위상 공간(영어: extended phase space)이라고 한다. 해밀토니언 $H\colon M\to \mathbb {R}$는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 $\alpha$를 정의할 수 있다.

$\alpha =\sum _{i}p_{i}dq^{i}-H(q,p,t)dt$.

이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.

$X={\frac {1}{L}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p^{i}}}\right)$.

여기서

$L={\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}p^{i}-H$

는 라그랑지언이다.

물리량 $F(q,p,t)$의 시간 변화는 다음과 같다.

${\frac {dF}{dt}}=LX^{I}{\frac {\partial F}{\partial x^{I}}}$.

(여기서 $x^{I}=(q^{1},\dots ,q^{i},\dots ,q^{n},p_{1},\dots ,p_{i},\dots ,p_{n},t)$이다.) 시간 대신 작용 $dS=Ldt$를 변수로 하면 다음과 같다.

${\frac {dF}{dS}}=X^{I}{\frac {\partial F}{\partial x^{I}}}$.

참고 문헌

• Etnyre, John B. (2003). 〈Introductory lectures on contact geometry〉. 《Topology and Geometry of Manifolds》 71. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 71. American Mathematical Society. 81–107쪽. arXiv:math/0111118. Bibcode:2001math.....11118E. doi:10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 978-0-8218-3507-4. 
• Geiges, Hansjörg (2006). 〈Contact geometry〉. 《Handbook of Differential Geometry, Vol. 2》. Amsterdam: North-Holland. 315–382쪽. arXiv:math/0307242. Bibcode:2003math......7242G. doi:10.1016/S1874-5741(06)80008-7. ISBN 978-0-444-52052-4. 
• Geiges, H. An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008.
• Aebischer et al. Symplectic geometry, Birkhäuser (1994), ISBN 3-7643-5064-4
• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3
• Lutz, Robert (1988). “Quelques remarques historiques et prospectives sur la géométrie de contact”. 《Rendiconti del Seminario della Facoltà di Scienze dell’ Università di Cagliari》 (프랑스어). 58 (supplement): 361–393. MR 1122864. 
• Geiges, H. (2001). “A brief history of contact geometry and topology”. 《Expositiones Mathematicae》 (영어) 19 (1): 25–53. doi:10.1016/S0723-0869(01)80014-1. 
• 기우항; 김영호 (2002). 《부분다양체론》. 대우학술총서 497. 서울: 아카넷. ISBN 978-89-89103-30-1. 

같이 보기

• 사사키 다양체
• 심플렉틱 다양체

외부 링크

• Lumiste, Ü. (2001). “Contact structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.