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연속 함수

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위상수학해석학에서, 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 "작은 변화"에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

정의편집

 
점에서의 연속성

위상 공간    사이의 함수   및 점  가 다음 조건을 만족시킨다면,   에서 연속이다(continuous at the point x)라고 한다.

  • 임의의 점  근방  에 대하여,   근방  가 존재한다.
  • 임의의 그물  에 대하여, 만약  라면  이다.

위상 공간    사이의 함수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수라고 한다.

  • 임의의 열린 집합  에 대하여, 원상  열린 집합이다.
  • 임의의 닫힌 집합  에 대하여, 원상  닫힌 집합이다.
  •   의 모든 점에서 연속이다.
  • 임의의 부분 집합  에 대하여, 항상  이다. 여기서  폐포를 일컫는다.

위상 공간    사이의 함수  가 다음 조건을 만족시킨다면,  점렬 연속 함수(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

  • 임의의 점렬   및 점  에 대하여, 만약  라면  이다.

좌·우 연속성편집

어떤 구간  위상 공간   사이의 함수   및 실수  에 대하여, 다음을 정의하자.

  • 만약  라면,   에서 우연속 함수(영어: right-continuous function)이다.
  • 만약  라면,   에서 좌연속 함수(영어: left-continuous function)이다.

성질편집

연속함수는 위상 공간의 몇가지 성질을 보존하기 때문에 매우 유용하다.

임의의 두 위상 공간  ,   사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약  제1 가산 공간이라면,    사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

거리 공간에서의 연속 함수편집

거리 공간    사이의 함수   및 점  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   에서 연속 함수이다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수  이 존재한다.
    • 임의의  에 대하여, 만약  라면,  이다.
  •   에서 점렬 연속 함수이다. 즉, 임의의 점렬  에 대하여, 만약  라면  이다.

실수값 연속 함수편집

임의의 위상 공간   위의 두 연속 함수

 

에 대하여, 다음이 성립한다.

  •  는 연속 함수이다.
  •  는 연속 함수이다.
    • 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약  가 임의의 실수  라면,  는 연속 함수이다.
  • 만약 모든  에 대하여  이라면,  는 연속 함수이다.

실수 위의 함수편집

실수 구간  으로부터 위상 공간  로 가는 함수   및 임의의 실수  에 대하여, 다음이 성립한다.

  •   에서 좌연속 함수이며 우연속 함수이다.
  •   에서 연속 함수이다.

편집

실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.

  • 모든 다항식  
  • 지수 함수  
  • 사인  
  • 코사인  
  • 절댓값  

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

  • 부호 함수  

참고 문헌편집

같이 보기편집

외부 링크편집