라그랑주 부분 다양체

심플렉틱 기하학에서 라그랑주 부분 다양체(Lagrange部分多樣體, 영어: Lagrangian submanifold)는 심플렉틱 형식의 당김이 0이 되어, 국소적으로 일반화 좌표(또는 일반화 운동량)의 부분 다양체로 간주할 수 있는 최대 차원 부분 다양체이다.

정의

$2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 속의 매끄러운 부분 다양체 $\iota \colon N\hookrightarrow M$가 다음 조건을 만족시킨다면, 등방성 부분 다양체(等方性部分多樣體, 영어: isotropic submanifold)라고 한다.

$\iota ^{*}\omega =0$

즉, 심플렉틱 형식 $\omega$를 $N$에 국한하였을 때 0이 되어야 한다.

$2n$차원 심플렉틱 다양체의 $n$차원 등방성 부분 다양체를 라그랑주 부분 다양체(영어: Lagrangian submanifold)라고 한다. 즉, 라그랑주 부분 다양체는 최대 차원의 등방성 부분 다양체이다.

이와 마찬가지로, 만약 $\iota$가 매끄러운 매장이 아니라 매끄러운 몰입일 경우, 마찬가지로 등방성 몰입(영어: isotropic immersion) 및 라그랑주 몰입(영어: Lagrangian immersion)을 정의할 수 있다.

라그랑주 올뭉치

라그랑주 올뭉치(영어: Lagrangian fibration)

$L{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}M{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B$

는 일반올 $L$이 전체 공간 $(M,\omega )$의 라그랑주 부분 다양체를 이루는 올뭉치이다. 이 경우, 합성 $\pi \circ \iota \colon L\to B$에서, $\pi$가 국소 미분 동형이 되지 않는 점, 즉 $n\times n$ 행렬 $D(\pi \circ \iota )$의 계수가 $n$ 미민인 점들의 집합

$\{b\in B\colon \operatorname {rank} D(\pi \circ \iota )|_{b}<n\}$

을 라그랑주 올뭉치의 초점면(焦點面, 영어: caustic)이라고 한다.

특수 라그랑주 부분 다양체

$2n$차원 켈러 다양체 $M$위의 부피 형식이 $\omega ^{n}/n!$이며, $(n,0)$-복소수 미분 형식 $\Omega$가

$\Omega \wedge {\bar {\Omega }}=\omega ^{n}/n!$

를 만족시킨다고 하자. $\Omega$의 실수 성분과 허수 성분을 분해하자.

$\Omega =\Omega _{1}+i\Omega _{2},\qquad \Omega _{1},\Omega _{2}\in H^{n}(M;\mathbb {R} )$

그렇다면, $(M,\Omega )$ 속의 특수 라그랑주 부분 다양체(영어: special Lagrangian submanifold)는 다음 조건을 만족시키는 라그랑주 부분 다양체 $\iota \colon L\hookrightarrow M$이다.

$\iota ^{*}\Omega _{2}=0$

칼라비-야우 다양체 속의 특수 라그랑주 부분 다양체의 개념은 끈 이론, 특히 거울 대칭에서 등장한다.

성질

임의의 두 심플렉틱 다양체 $(M_{1},\omega _{1})$, $(M_{2},\omega _{2})$ 사이의 미분 동형

$f\colon M_{1}\to M_{2}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Lemma 3.14}

• $f$는 심플렉틱 사상이다. 즉, $f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}$이다.
• $f$의 그래프 $\{(x,f(x))\colon x\in M_{1}\}\subset M_{1}\times M_{2}$는 $(M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\oplus (-\omega _{2}))$의 라그랑주 부분 다양체이다.

예

심플렉틱 벡터 공간의 라그랑주 부분 벡터 공간

$2n$차원 심플렉틱 벡터 공간의 부분 벡터 공간 가운데 라그랑주 부분 다양체를 이루는 것을 라그랑주 부분 벡터 공간(영어: Lagrangian linear subspace)이라고 하며, 그 모듈라이 공간을 라그랑주 그라스만 다양체(영어: Lagrangian Grassmannian)라고 한다.

심플렉틱 벡터 공간에 심플렉틱 구조와 호환되는 내적을 주자 (이는 표준적이지 않다). 그렇다면, 내적의 선택에 따라 라그랑주 그라스만 다양체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\operatorname {LagGrass} (n)\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {O} (n)$

그러나 이 동형은 내적의 선택에 의존하므로 표준적이지 않다. 라그랑주 그라스만 다양체는 단일 연결 공간이 아니며, 그 기본군은 무한 순환군

$\pi _{1}\left(\operatorname {LagGrass} (n)\right)\cong \mathbb {Z}$

이다. 이로부터 마슬로프 지표를 정의할 수 있다.

2차원 심플렉틱 다양체의 라그랑주 부분 다양체

2차원 심플렉틱 다양체 $(\Sigma ,\omega )$ 속의 매끄러운 곡선 $\gamma \subset \Sigma$은 항상 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. (곡선 위에는 0이 아닌 2차 미분 형식이 존재할 수 없기 때문이다.)

예를 들어, 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 2차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2}=T^{*}\mathbb {R}$을 생각하자. 이 경우, 임의의 곡선 $\gamma \subset \mathbb {R} ^{2}$은 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 이 경우, $x$축으로의 사영

$\pi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

$\pi \colon (x,p)\mapsto x$

을 정의한다면, 이 사영에 대한 곡선의 초점면은 기울기가 무한대가 되는 점(즉, 접선이 $p$축과 평행한 점)이다. 예를 들어, 타원

${\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2m}}p^{2}=E$

은 해밀토니언 $H(x,p)=kx^{2}/2+p^{2}/2m$의 준위 부분 집합 $\{(x,p)\colon H(x,p)=E\}$인 라그랑주 부분 다양체이며, 초점면은 운동량이 0이 되는 점

$\{{\sqrt {2E/k}},-{\sqrt {2E/k}}\}$

이다.

공변접다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $T^{*}M$은 자연스럽게 심플렉틱 다양체를 이룬다. 임의의 매끄러운 함수 $S\colon M\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음과 같은 $T^{*}M$의 부분 다양체를 정의하자.

$\left\{(x,\partial _{\mu }S(x))\colon x\in M\right\}\subset T^{*}M$

그렇다면 이는 $T^{*}M$의 라그랑주 분 다양체를 이룬다. 특히, 상수 함수 $S=0$일 경우 이는 $M\subset T^{*}M$는 라그랑주 부분 다양체를 이룬다.

참고 문헌

• Audin, Michèle (2005). “On the topology of Lagrangian submanifolds: examples and counter-examples” (PDF). 《Portugaliae Mathematica (nova série)》 (영어) 62 (4). 2015년 10월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 11월 8일에 확인함. 
• Damian, Mihai (2010년 11월 15일). 《Sur la topologie des sous-variétés lagrangiennes》 (프랑스어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Michèle Audin). 스트라스부르 대학교. 

외부 링크

• “Lagrangian submanifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Lagrangian subspace”. 《nLab》 (영어). 
• “Lagrangian correspondence”. 《nLab》 (영어). 
• “Isotropic submanifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Lagrangian Grassmannian”. 《nLab》 (영어). 
• “Isotropic Grassmannian”. 《nLab》 (영어). 
• “What is a Lagrangian submanifold intuitively?” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• 마슬로프 지표
• 기하학적 양자화