정규 작용소

함수해석학에서 정규 작용소(正規作用素, 영어: normal operator)는 힐베르트 공간 위에서, 스스로의 에르미트 수반과 가환하는 연속 선형작용소이다. 정규 행렬의 개념을 무한 차원으로 일반화시킨 개념이다. 정규작용소들은 잔여 스펙트럼이 존재하지 않아, 이들에 대하여 스펙트럼 정리가 적용된다.

정의

복소수 대합 대수 $A$의 정규원(正規元, 영어: normal element)은 다음 조건을 만족시키는 원소 $a\in A$이다.

$a^{*}a=aa^{*}$

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 $\operatorname {B} (V,V)$ 속의 정규원을 정규 작용소라고 한다. 즉, 유계 작용소 $T\colon V\to V$가 $TT^{*}=T^{*}T$을 만족시킨다면 $T$를 정규 작용소라고 한다 ($(-)^{*}$는 에르미트 수반).

성질

유계 작용소 $T\colon V\to V$에 대하여, 다음 명제들이 서로 동치이다.

• $T$는 정규 작용소이다.
• $T$의 에르미트 수반 $T^{*}$는 정규 작용소이다.
• 모든 $v\in V$에 대하여 $\Vert Tv\Vert =\Vert T^{*}v\Vert$이다.

정규 작용소 $T$와 그 에르미트 수반 $T^{*}$는 같은 핵과 상을 갖는다.

$\ker T=\ker T^{*}$

$T(V)=T^{*}(V)$

따라서, 정규 작용소 $T$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $T$의 상이 조밀 집합이다.
• $T$가 단사 함수이다.

정규 작용소는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 즉, 오직 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼만을 갖는다.

연산에 대한 닫힘

복소수 힐베르트 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 임의의 정규 작용소 $A\colon V\to V$ 및 복소수 $\lambda \in \mathbb {C}$에 대하여, $\lambda A$ 역시 정규 작용소이다.

두 정규 작용소 $A,B\colon V\to V$가 주어졌다고 하자. 만약 $[A,B]=0$이라면, 다음이 성립한다.

• $A+B$는 정규 작용소이다.
• (푸글레데 정리 영어: Fuglede’s theorem) $AB$ 역시 정규 작용소이다.

그러나 서로 가환하지 않는 두 정규 작용소의 합과 곱은 정규 작용소가 아닐 수 있다.

예

다음과 같은 작용소들은 정규 작용소이다.

• 유니터리 작용소
• 자기 수반 작용소
• 유한 차원 힐베르트 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 위의 정규 작용소들은 $n\times n$ 정규 행렬들이다.

외부 링크

• “Normal operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.