선형대수학 에서 유리 표준형 (有理標準型, 영어 : rational canonical form ) 또는 프로베니우스 표준형 (Frobenius標準型, 영어 : Frobenius canonical form )은 임의의 체 를 성분으로 하는 정사각 행렬 을 그와 닮은 , 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.[1] [2]
체
K
{\displaystyle K}
를 계수로 하는 일계수 다항식
p
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
⋯
a
deg
p
−
1
x
deg
p
−
1
+
x
deg
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{\deg p-1}x^{\deg p-1}+x^{\deg p}\in K[x]}
a
0
,
a
1
,
…
,
a
deg
p
−
1
∈
K
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{\deg p-1}\in K}
의 동반 행렬 (同伴行列, 영어 : companion matrix )은 다음과 같은
deg
p
×
deg
p
{\displaystyle \deg p\times \deg p}
정사각 행렬 이다.
C
(
p
)
=
(
0
0
⋯
0
−
a
0
1
0
⋯
0
−
a
1
0
1
⋯
0
−
a
2
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
0
0
⋯
1
−
a
deg
p
−
1
)
∈
Mat
(
deg
p
;
K
)
{\displaystyle C(p)={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\0&0&\cdots &1&-a_{\deg p-1}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (\deg p;K)}
체
K
{\displaystyle K}
위의 임의의
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬
G
∈
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)}
및 유일한 일계수 다항식 집합
{
d
1
,
d
2
,
…
,
d
k
}
⊂
K
[
x
]
{\displaystyle \{d_{1},d_{2},\dots ,d_{k}\}\subset K[x]}
이 존재하며,
G
−
1
M
G
{\displaystyle G^{-1}MG}
를
M
{\displaystyle M}
의 (불변 인자) 유리 표준형 (영어 : (invariant factors) rational canonical form )이라고 한다.
G
−
1
M
G
=
diag
(
C
(
d
1
)
,
C
(
d
2
)
,
…
,
C
(
d
k
)
)
{\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(d_{1}),C(d_{2}),\dots ,C(d_{k}))}
d
k
(
x
)
∣
d
k
−
1
(
x
)
∣
⋯
∣
d
1
(
x
)
{\displaystyle d_{k}(x)\mid d_{k-1}(x)\mid \cdots \mid d_{1}(x)}
deg
d
i
≥
1
(
∀
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
k
}
)
{\displaystyle \deg d_{i}\geq 1\qquad (\forall i\in \{1,2,\dots ,k\})}
이는
M
{\displaystyle M}
으로 유도되는
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
-가군
K
n
{\displaystyle K^{n}}
x
⋅
v
=
M
v
(
∀
v
∈
K
n
)
{\displaystyle x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})}
의 불변 인자 분해
K
n
≅
K
[
x
]
/
(
d
1
(
x
)
)
⊕
K
[
x
]
/
(
d
2
(
x
)
)
⊕
⋯
⊕
K
[
x
]
/
(
d
k
(
x
)
)
{\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(d_{1}(x))\oplus K[x]/(d_{2}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(d_{k}(x))}
에서,
M
{\displaystyle M}
에 대응하는
K
{\displaystyle K}
-선형 변환
v
↦
x
⋅
v
{\displaystyle v\mapsto x\cdot v}
의 다음과 같은 기저 에 대한 행렬이다.
{
1
+
(
d
i
(
x
)
)
,
x
+
(
d
i
(
x
)
)
,
…
,
x
deg
d
i
−
1
+
(
d
i
(
x
)
)
}
⊂
K
[
x
]
/
(
d
i
(
x
)
)
(
i
=
1
,
2
,
…
,
k
)
{\displaystyle \left\{1+(d_{i}(x)),x+(d_{i}(x)),\dots ,x^{\deg d_{i}-1}+(d_{i}(x))\right\}\subset K[x]/(d_{i}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,k)}
체
K
{\displaystyle K}
위의 임의의
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬
G
∈
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)}
및 유일한 기약 일계수 다항식 의 양의 거듭제곱의 중복집합
{
p
1
e
1
,
p
2
e
2
,
…
,
p
l
e
l
}
⊂
K
[
x
]
{\displaystyle \{p_{1}^{e_{1}},p_{2}^{e_{2}},\dots ,p_{l}^{e_{l}}\}\subset K[x]}
이 존재하며,
G
−
1
M
G
{\displaystyle G^{-1}MG}
를
M
{\displaystyle M}
의 으뜸 유리 표준형 (영어 : primary rational canonical form ) 또는 초등 인자 유리 표준형 (영어 : elementary divisors rational canonical form )이라고 한다.
G
−
1
M
G
=
diag
(
C
(
p
1
e
1
)
,
C
(
p
2
e
2
)
,
…
,
C
(
p
l
e
l
)
)
{\displaystyle G^{-1}MG=\operatorname {diag} (C(p_{1}^{e_{1}}),C(p_{2}^{e_{2}}),\dots ,C(p_{l}^{e_{l}}))}
이는
K
[
x
]
{\displaystyle K[x]}
-가군
K
n
{\displaystyle K^{n}}
x
⋅
v
=
M
v
(
∀
v
∈
K
n
)
{\displaystyle x\cdot v=Mv\qquad (\forall v\in K^{n})}
의 으뜸 분해
K
n
≅
K
[
x
]
/
(
p
1
e
1
(
x
)
)
⊕
K
[
x
]
/
(
p
2
e
2
(
x
)
)
⊕
⋯
⊕
K
[
x
]
/
(
p
l
e
l
(
x
)
)
{\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(p_{1}^{e_{1}}(x))\oplus K[x]/(p_{2}^{e_{2}}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(p_{l}^{e_{l}}(x))}
에서,
K
{\displaystyle K}
-선형 변환
v
↦
x
⋅
v
{\displaystyle v\mapsto x\cdot v}
의 다음과 같은 기저 에 대한 행렬이다.
{
1
+
(
p
i
e
i
(
x
)
)
,
x
+
(
p
i
e
i
(
x
)
)
,
…
,
x
deg
(
p
i
e
i
)
−
1
+
(
p
i
e
i
(
x
)
)
}
⊂
K
[
x
]
/
(
p
i
e
i
(
x
)
)
(
i
=
1
,
2
,
…
,
l
)
{\displaystyle \left\{1+(p_{i}^{e_{i}}(x)),x+(p_{i}^{e_{i}}(x)),\dots ,x^{\deg(p_{i}^{e_{i}})-1}+(p_{i}^{e_{i}}(x))\right\}\subset K[x]/(p_{i}^{e_{i}}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,l)}
페르디난트 게오르크 프로베니우스 가 도입하였다.[3] [4] ‘유리’(영어 : rational )라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.