준군
추상대수학과 범주론에서 준군(準群, 영어: groupoid 그루포이드[*])은 군과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 이항연산이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, 결합법칙을 만족하는 부분적으로 정의된 이항연산이 존재하고, 역원이 항상 존재하는 집합이다.
정의
편집대수적 정의
편집준군 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 집합
- 의 부분 집합
- 위에 정의된 함수 . 를 로 쓰자.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
- (결합 법칙) 임의의 에 대하여, 만약 라면 이며, 또한 이다.
- (역원의 존재) 임의의 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 가 존재한다. 이를 의 역원(逆元, 영어: inverse)이라고 한다.
이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 에 대하여 일 수 있다.
범주론적 정의
편집범주론적으로, 준군 는 모든 사상이 동형 사상인 작은 범주이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.
대수적 정의 | 범주론적 정의 |
---|---|
의 원소 | 의 사상 |
의 대상 집합 | |
에 대하여, | 사이의 사상 집합 |
이항 연산 | 사상의 합성 |
예
편집군의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 동치이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. 집합의 개념은 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 동치이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, 작은 범주의 개념이 모노이드의 개념과 집합의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 군의 개념과 집합의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.
작용 준군
편집군 가 집합 위에 작용한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 작용 준군 로 여길 수 있다.
- 의 대상은 의 원소이다.
- 에 대하여, 이다.
기본 준군
편집역사
편집각주
편집- ↑ Brandt, Heinrich (1927년 12월 1일). “Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 96 (1): 360–366. doi:10.1007/BF01209171.
- Brown, Ronald (1987년 3월). “From groups to groupoids: a brief survey” (PDF). 《Bulletin of the London Mathematical Society》 (영어) 19 (2): 113–134. doi:10.1112/blms/19.2.113. 2013년 5월 16일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2012년 12월 26일에 확인함.
- Ramsay, Arlan; Jean Renault (2001). 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》. Contemporary Mathematics 282. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/282. ISBN 978-0-8218-2042-1.
- Weinstein, Alan (1996년 7월). “Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220. 재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉. 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》 (PDF). American Mathematical Society. 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
외부 링크
편집- “Groupoid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Groupoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Groupoid”. 《nLab》 (영어).