준동형 정리

추상대수학에서, 준동형 정리(準同型定理, 영어: homomorphism theorem)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

정의편집

같은 형의 대수 구조    및 그 사이의 준동형  가 주어졌다고 하자. 그렇다면   위에 합동 관계  

 

로 정의할 수 있다.   보다 더 고른   위의 합동 관계라고 하자. 즉,

 

라고 하자. 또한,  가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

  •  준동형  가 유일하게 존재한다.
  • 만약  전사 함수라면   역시 전사 함수이다.
  • 만약  라면,  단사 함수이다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

편집

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다.

군에 대한 형태편집

군 준동형  정규 부분군  가 있고,  라고 하자.  가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.[1]

  •  군 준동형  가 유일하게 존재한다.
  • 만약  전사 함수라면   역시 전사 함수이다.
  • 만약  라면,  단사 함수이다.

환에 대한 형태편집

환 준동형   아이디얼  가 있고,  이라고 하자. 또한,  가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  •  환 준동형  가 유일하게 존재한다.
  • 만약  전사 함수라면   역시 전사 함수이다.
  • 만약  이라면,  단사 함수이다.

가군에 대한 형태편집

 왼쪽 가군   사이의 가군 준동형   의 부분 가군  가 있고,  이라고 하자. 또한,  가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  •  인 가군 준동형  이 유일하게 존재한다.
  • 만약  가 전사 함수라면   역시 전사 함수이다.
  • 만약  이라면,  는 단사 함수이다.

참고 문헌편집

  1. Joseph A. Gallian (2006), Contemporary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Company(Boston, New York), p.206.

외부 링크편집

같이 보기편집