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추상대수학에서, 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다. 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.

목차

정의편집

대수 구조  는 집합  와,   꼴의 함수들의 집합  의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리편집

대수 준동형  에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.

  •   의 부분대수이다.
  •    위의 합동 관계이다.
  •  는 대수의 동형 사상이다.

제2 동형 정리편집

대수   및 부분대수    위의 합동 관계  가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.

  •    위의 합동 관계이다.
  •   와 겹치는  -동치류들의 집합이라고 하자. 그렇다면   의 부분대수이다.,
  •   와 동형이다.

제3 동형 정리편집

대수   위에 두 합동 관계  가 주어졌으며,  라면  이라고 하자. 즉,   보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

  •   위의 이항 관계   로 정의하자. 그렇다면    위의 합동 관계이다.
  •   과 동형이다.

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위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

보편 대수 가군
대수 구조        -왼쪽 가군  
합동 관계   정규 부분군   아이디얼   부분가군  
부분 대수   부분군   부분환   부분가군  
       

군 동형 정리편집

제1 동형 정리

군 준동형  에 대하여,

  •  
  •  
  •  
제2 동형 정리

  및 부분군  정규부분군  에 대하여,

  •  
  •  
    • 따라서,  .
  •  
제3 동형 정리

 정규부분군  에 대하여,

  •  
  •  

환 동형 정리편집

제1 동형 정리

환 준동형  에 대하여,

  •   의 부분환이다.
  •   아이디얼이다.
  •  
제2 동형 정리

  및 부분환  아이디얼  에 대하여,

  •   의 아이디얼
  •   의 부분환
    • 따라서,   의 부분환이다.
  •  
제3 동형 정리

 아이디얼  에 대하여,

  •   의 아이디얼이다.
  •  

가군 동형 정리편집

모든 가군은 주어진  에 대한 왼쪽 가군이다.

제1 동형 정리

가군 준동형  에 대하여,

  •   의 부분가군이다.
  •   의 부분가군이다.
  •  
제2 동형 정리

가군  의 부분가군  에 대하여,

  •   의 부분가군이다.
  •   의 부분가군이다.
    • 따라서,   의 부분가군이다.
  •  
제3 동형 정리

가군  의 부분가군  에 대하여,

  •   의 부분가군이다.
  •  

역사편집

에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.[1][2]

참고 문헌편집

외부 링크편집

같이 보기편집