준등거리사상

수학에서 준등거리사상(영어: quasi-isometry), 준등거리동형사상, 준등거리변환, 준거리동형사상 혹은 준등장사상거리 공간의 일정한 집합 위에 줄 수 있는 동치관계로서, 엉성한 구조(coarse structure)를 탐구하기 위해 일반적인 등거리사상에서 약간의 세부사항을 무시하는 것이다. 미하일 그로모프기하적 군론에서 중요한 역할을 한다.

정의편집

 가(연속일 필요는 없다) 거리 공간  에서 거리 공간  으로 가는 함수라 하자.   에서  로 가는 준등거리사상임은 다음 조건을 만족하는 것으로 정의된다. 적당한 상수  ,  ,  가 존재하여,

  1.  
  2.  

두 거리 공간  ,   간에 준등거리사상이 존재하면 준등거리동형(quasi-isometric) 또는 준거리동형이라고 한다. 이 정의는 약간의 고찰을 통해 순서에 무관하다고 볼 수 있고(즉, 준등거리동형 관계는 대칭관계이다), 나아가 준등거리동형 관계는 동치관계가 됨을 쉽게 보일 수 있다.

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  •   상에 유클리드 거리를 준 거리 공간에서 같은 집합에 맨해튼 거리를 준 거리 공간으로 가는 자연스러운 일대일 대응 함수는 준등거리사상이다. 여기서 거리는 많아야  배만큼 차이난다.
  • 함수  (모두 유클리드 거리)를 자연스러운 일대일 함수라고 하면 이 역시 준등거리사상이다. 거리는 정확히 보존되며, 임의의 실수 순서쌍들은 어떤 정수 순서쌍에서 많아야   만큼 떨어져 있다.
  • 유한 집합이거나 유계 집합인 거리 공간들의 임의 쌍은 준등거리동형이다. 실제로, 여기서는 임의의 함수가 준등거리사상이 된다.

기하적 군론의 응용편집

유한 생성 G 의 유한 생성집합 S 가 주어지면 이들의 케일리 그래프를 만들 수 있다. 그래프의 모든 모서리 길이를 1이라고 하면 이 그래프는 거리 공간이 된다. G 의 다른 유한생성집합 T를 가지고 다른 케일리 그래프를 만들 경우, 두 케일리 그래프는 준등거리동형이 된다. 따라서 케일리 그래프의 준등거리동형 동치류는 G 에만 의존한다. 이렇게 준등거리동형 동치류에만 의존하는 거리 공간의 성질을 통해 군의 불변량을 얻을 수 있으므로, 기하학적 방법으로 군론을 탐구할 수 있게 된다.

관련 항목편집

참고 문헌편집