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표현 가능 함자

어떤 대상 X에 대하여, 사상 집합 함자 hom(X, –)와 자연 동형인 함자

범주론에서, 표현 가능 함자(表現可能函子, 영어: representable functor)는 어떤 요네다 함자자연 동형함자이다.

정의편집

국소적으로 작은 범주  에서 집합의 범주로 가는 함자  표현  은 다음과 같은 순서쌍이다.

  •   의 대상이다.
  •  자연 동형이다.

표현 가능 함자는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

국소적으로 작은 범주  에서 집합의 범주로 가는 함자  보편 원소  는 다음과 같은 순서쌍이다.

  •   의 대상이다.
  •  는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
    • 임의의   에 대하여,  인 유일한 사상  가 존재한다.

함자의 표현들은 그 보편 원소와 일대일 대응한다. 표현  에 대응하는 보편 원소  는 다음과 같다.

 

반대로, 보편 원소  에 대응하는 표현  는 다음과 같다.

 

성질편집

주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 동형이다. 즉,  의 두 개의 표현  ,  에 대하여,

 

인 유일한  가 존재한다.

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 가 집합을 그 멱집합으로 대응시키고, 함수를 그 역함수  로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면  은 보편 원소를 이룬다.

대수 구조 다양체의 범주  의 경우, 항상 망각 함자   및 그 수반 함자인 자유 함자  가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는  이 된다. 여기서  은 크기가 1인 임의의 집합이다.

위상 공간의 범주  의 망각 함자  의 보편 원소는  이다. 여기서  한원소 공간이다.

점을 가진 공간의 호모토피 범주에서 점을 가진 집합반대 범주로 가는 함자들의 표현 가능성은 브라운 표현 정리에 의하여 주어진다.

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같이 보기편집