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수학에서, 초거리 공간(超距離空間, 영어: ultrametric space)은 삼각 부등식보다 더 강한 부등식을 만족시키는 거리 공간이다.

정의편집

집합   위의 초거리 함수(영어: ultrametric)는 다음 조건들을 만족시키는 함수

 

이다.

  • (대칭성) 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여,  
  • (초거리 부등식 영어: ultrametric inequality) 모든  에 대하여,  

초거리 공간은 초거리 함수를 갖춘 집합이다.

성질편집

 
초거리 공간에서 가능한 삼각형

초거리 함수는 거리 함수이며, 따라서 초거리 공간은 거리 공간이다.

초거리 공간에서, 모든 삼각형이등변 삼각형이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의  에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.

  •  
  •  
  •  

초거리 공간  열린 공에 대하여, 다음이 성립한다.

  • 열린 공 속의 모든 점은 공의 중심이다. 즉, 만약  라면  이다.
  • 서로 교차하는 두 열린 공의 경우, 하나가 다른 하나의 부분 집합이다. 즉,  이라면  이거나  이다.
  • 열린 공과 닫힌 공은 모두 열린닫힌집합이다.

편집

집합   위의 이산 거리 공간은 초거리 공간이다.

p진수의 공간은 p진 노름을 부여하면 완비 초거리 공간을 이룬다.

참고 문헌편집