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환론에서, 등급 가군(等級加群, 영어: graded module)은 등급이 붙어, 등급환이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 가군이다.

목차

정의편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 모노이드  
  •  -등급환  

그렇다면,   위의 왼쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 아벨 군의 족  . 또한,  로 표기하자.
  •   위의  -왼쪽 가군 구조  

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 

마찬가지로,   위의 오른쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 아벨 군의 족  . 또한,  로 표기하자.
  •   위의  -오른쪽 가군 구조  

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

 

만약  일 때,  -등급 가군은 ( -벡터 공간이므로) 보통  -등급 벡터 공간(等級vector空間, 영어: graded vector space)이라고 부른다.

등급 가군 준동형편집

 -왼쪽 등급 가군  ,   사이의 준동형  은 다음 조건을 만족시키는  -왼쪽 가군 준동형이다.

 

 -오른쪽 등급 가군 사이의 준동형 역시 마찬가지로 정의된다.

연산편집

직합편집

 -등급환   위의 왼쪽 등급 가군들의 족  이 주어졌을 때, 이들의 직합

 
 

역시  -왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

텐서곱편집

 -등급환   위의 두 왼쪽 등급 가군  ,  이 주어졌을 때, 그 텐서곱

 

을 정의할 수 있다. 이 역시  -왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

뒤틂편집

 -등급환   위의 왼쪽 등급 가군   가 주어졌다고 하자. 그렇다면,   -뒤틂(영어: twist)  은 다음과 같다.

 

마찬가지로,  -등급환   위의 오른쪽 등급 가군   가 주어졌다고 하자. 그렇다면,   -뒤틂(영어: twist)  은 다음과 같다.

 

힐베르트-푸앵카레 급수편집

 -등급환   위의 왼쪽 등급 가군  힐베르트-푸앵카레 급수(영어: Hilbert–Poincaré series)는 (만약 존재한다면) 다음과 같다.

 

여기서

  •  는 ( -왼쪽 가군으로서의) 길이이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
  •  는 정수 계수 1변수 형식적 멱급수환이다.

편집

 에 자명한  -등급을 부여하였을 때,  -등급 가군

 

 -초벡터 공간(영어: super-vector space)이라고 한다.

정수환  에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 등급 아벨 군(영어: graded Abelian group)이라고 한다.

참고 문헌편집

  • Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (2004). 《Methods of graded rings》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1836. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20746-7. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/b94904. 
  • Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (1982). 《Graded ring theory》 (영어). North-Holland. 

외부 링크편집