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환론에서, 등급 대수(等級代數, 영어: graded algebra)는 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 결합 대수이다.

목차

정의편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  • 모노이드  
  •  에 대하여,  -가군  . 편의상  로 표기하자.
  •   위의  -결합 대수 구조

이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  •  
  •  

이 경우,   등급을 가진 등급 대수라고 한다.   (정수환) 위의 단위 결합 대수이므로,   위의 등급 대수는 등급환(等級環, 영어: graded ring)이라고 한다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우   (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이   (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(超代數, 영어: superalgebra)라고 부르기도 한다.

동급 원소편집

등급 대수  의 원소  는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

  • 만약   이 존재할 경우  동급 원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 한다. 만약  이라면 이는 유일하며,   등급이라고 한다. 이는 보통  로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다)
  • 만약   이 존재하지 않을 경우  비동급 원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

준동형편집

가환환   위의, 모노이드   등급의 두 등급 대수  ,   사이의 등급 대수 준동형(영어: graded-algebra homomorphism)  은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

 

즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라,   위의  등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

 

를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형    위의  등급 대수   등급 대수  가 주어졌을 때,   위의 등급 대수 준동형  은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

 

성질편집

가환 모노이드  가 추가로 가환 반환의 구조  를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

 

만약  -등급  -대수  가 다음 조건을 만족시킨다면,  등급 가환 대수(영어: graded-commutative algebra)라고 한다.

 

물론, 만약  표수가 2 또는 1이라면 (즉,  이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

연산편집

직합편집

가환환  와 모노이드  ,  이 주어졌을 때,  -등급  -대수   -등급  -대수  직합(영어: direct sum)  은 다음과 같은  -등급  -대수이다.

  •  -가군으로서  은 가군의 직합이다.
  •  
  •  

텐서곱편집

가환환  와 가환 모노이드  이 주어졌을 때,  -등급  -대수  ,  텐서곱(영어: tensor product)  은 다음과 같은  -등급  -대수이다.

  •  -텐서곱으로서  은 가군의 텐서곱이다.
  •  
  •  

보다 일반적으로,  이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우  -등급  -대수  에 대하여

 

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두  -등급  -대수  ,  에 대하여 등급 텐서곱(영어: graded tensor product)  은 다음과 같은  -등급  -대수이다.

  •  -텐서곱으로서  은 가군의 텐서곱  이다.
  •  
  •  

이는 흔히   또는   또는  이며,

 

인 경우 사용된다.

두 등급 가환  -등급  -대수  ,  이 주어졌을 때, 등급 텐서곱   역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱  는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

등급의 망각편집

모노이드   등급을 갖는, 가환환   위의 등급 대수  가 주어졌으며, 모노이드 준동형

 

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  에서 등급 구조를 망각하여

 

를 정의할 수 있으며,

 

 -등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

 

를 이룬다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수   를 통해 등급을 망각하여 초대수  로 만들 수 있다.

무관 아이디얼편집

가환환   위의, 자연수 등급의 등급 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

 

 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼무관 아이디얼(無關ideal, 영어: irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

 
 

편집

  • 위상 공간   위의 코호몰로지 환  은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
  • 매끄러운 다양체   위의 미분 형식의 공간  은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진  -등급 대수이다.
  • 모노이드  에 대한 모노이드 환  등급을 가진 등급환이다.
  • 클리퍼드 대수 등급을 가진 등급 대수이다.
  • 가환환   위의 가군   위의 텐서 대수   -등급  -대수이며, 이 경우  이다.
  • 가환환   위의 가군   위의 외대수   -등급  -대수이다.
  • 가환환   위의 가군   위의 대칭 대수   -등급  -대수이다.

관련 항목편집

외부 링크편집