등급 대수

환론에서 등급 대수(等級代數, 영어: graded algebra)는 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 결합 대수이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 모노이드 $(N,\cdot )$
• 각 $n\in N$에 대하여, $K$-가군 $A_{n}$. 편의상 $\textstyle A=\bigoplus _{n\in N}A_{n}$로 표기하자.
• $A$ 위의 $K$-결합 대수 구조

이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $A_{m}A_{n}\subseteq A_{mn}\qquad (\forall m,n\in N)$
• $\phi (K)\subseteq A_{1}$

이 경우, $A$를 $N$등급을 가진 등급 대수라고 한다. $K=\mathbb {Z}$ (정수환) 위의 단위 결합 대수는 환이므로, $\mathbb {Z}$ 위의 등급 대수는 등급환(等級環, 영어: graded ring)이라고 한다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 $N=\mathbb {N}$ (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 $\mathbb {Z} /2$ (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(超代數, 영어: superalgebra)라고 부르기도 한다.

동급 원소

등급 대수 $A$의 원소 $a\in A$는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

• 만약 $a\in A_{n}$인 $n\in N$이 존재할 경우 $a$를 동급 원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 한다. 만약 $a\neq 0$이라면 이는 유일하며, $n$을 $a$의 등급이라고 한다. 이는 보통 $\deg A$로 표현한다. (0은 동급 원소이지만, 그 등급은 유일하게 정의될 수 없다.)
• 만약 $a\in A_{n}$인 $n$이 존재하지 않을 경우 $a$를 비동급 원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

준동형

가환환 $K$ 위의, 모노이드 $N$ 등급의 두 등급 대수 $A$, $B$ 사이의 등급 대수 준동형(영어: graded-algebra homomorphism) $f\colon A\to B$은 다음과 같은 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

$\deg f(a)=\deg a\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}$

즉, 등급을 보존하는 결합 대수 준동형이다. 이에 따라, $K$ 위의 $N$등급 대수들과 등급 대수 준동형들은 범주 (대수 구조 다양체)

$\operatorname {grAlg} _{K,N}$

를 이룬다.

보다 일반적으로, 두 모노이드 사이의 모노이드 준동형 $\phi \colon M\to N$ 및 $K$ 위의 $M$등급 대수 $A$와 $N$등급 대수 $B$가 주어졌을 때, $\phi$ 위의 등급 대수 준동형 $f\colon A\to B$은 다음 조건을 만족시키는 결합 대수 준동형이다.

$\deg f(a)=\phi (\deg a)\qquad \forall n\in N,\;a\in A_{n}\setminus \{0\}$

성질

가환 모노이드 $(N,+,0)$가 추가로 가환 반환의 구조 $(N,+,\cdot ,0,1)$를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

$\sigma \colon (N,+,0)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)$

만약 $(N,+)$-등급 $K$-대수 $A$가 다음 조건을 만족시킨다면, $K$가 등급 가환 대수(영어: graded-commutative algebra)라고 한다.

$ab=\sigma (mn)ba\qquad \forall a\in A_{m},\;b\in A_{n}$

물론, 만약 $K$의 표수가 2 또는 1이라면 (즉, $+1=-1$이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

연산

직합

가환환 $K$와 모노이드 $N$, $N'$이 주어졌을 때, $N$-등급 $K$-대수 $A$ 및 $N'$-등급 $K$-대수 $A'$의 직합(영어: direct sum) $A\oplus A'$은 다음과 같은 $N\times N'$-등급 $K$-대수이다.

• $K$-가군으로서 $A\oplus A'$은 가군의 직합이다.
• $(A\oplus A')_{n,n'}=A_{n}\oplus A'_{n'}$
• $(a,a')(b,b')=(ab,a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A')$

텐서곱

가환환 $K$와 가환 모노이드 $(N,+)$이 주어졌을 때, $N$-등급 $K$-대수 $A$, $A'$의 텐서곱(영어: tensor product) $A\otimes _{K}A'$은 다음과 같은 $N$-등급 $K$-대수이다.

• $K$-텐서곱으로서 $A\otimes _{K}A'$은 가군의 텐서곱이다.
• $(A\otimes _{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}$
• $(a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a,b\in A,\;a',b'\in A'$

보다 일반적으로, $N$이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 $(N,+)$-등급 $K$-대수 $A$에 대하여

$A_{m}A_{n}\subseteq A_{m+n}$

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

$\sigma \colon (N,+)\to \left(\{k\in K\colon k^{2}=1\},\cdot \right)$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 $(N,+)$-등급 $K$-대수 $A$, $A'$에 대하여 등급 텐서곱(영어: graded tensor product) $A{\hat {\otimes }}_{K}A'$은 다음과 같은 $N$-등급 $K$-대수이다.

• $K$-텐서곱으로서 $A{\hat {\otimes }}_{K}A'$은 가군의 텐서곱 $A\otimes _{K}A'$이다.
• $(A{\hat {\otimes }}_{K}A')_{n}=\bigoplus _{n_{1},n_{2}\in N\colon n_{1}+n_{2}=n}A_{n}\otimes _{K}A'_{n}$
• $(a\otimes _{K}a')(b\otimes _{K}b')=\sigma (m,n)(ab)\otimes (a'b')\qquad \forall a\in A,\;b\in A_{m},\;a'\in A'_{n},\;b'\in A'$

이는 흔히 $N=\mathbb {Z}$ 또는 $N=\mathbb {N}$ 또는 $N=\mathbb {Z} /2$이며,

$\sigma \colon n\mapsto (-1)^{n}$

인 경우 사용된다.

두 등급 가환 $\mathbb {Z} /2$-등급 $K$-대수 $A$, $A'$이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 $A{\hat {\otimes }}_{K}A'$ 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 $A\otimes _{K}A'$는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

등급의 망각

모노이드 $N$ 등급을 갖는, 가환환 $K$ 위의 등급 대수 $(A_{n})_{n\in N}$가 주어졌으며, 모노이드 준동형

$q\colon N\to {\tilde {N}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(A_{n})_{n\in N}$에서 등급 구조를 망각하여

$A_{\tilde {n}}=\bigoplus _{n\in q^{-1}({\tilde {n}})}A_{n}$

를 정의할 수 있으며,

$\bigoplus _{{\tilde {n}}\in {\tilde {N}}}A_{\tilde {n}}$

은 ${\tilde {N}}$-등급 대수를 이룬다. 이는 등급 대수의 범주 사이의 함자

$\operatorname {grAlg} _{K,N}\to \operatorname {grAlg} _{K,{\tilde {N}}}$

를 이룬다.

예를 들어, 자연수 등급의 대수 $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$는 $\mathbb {N} \to \mathbb {Z} /2$를 통해 등급을 망각하여 초대수 $(A_{n})_{n\in \mathbb {Z} /2}$로 만들 수 있다.

무관 아이디얼

가환환 $K$ 위의, 자연수 등급의 등급 대수 $A=(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$A_{+}=\bigoplus _{n>0}A_{n}$

은 $A$의 양쪽 아이디얼을 이룬다. 이 양쪽 아이디얼을 무관 아이디얼(無關ideal, 영어: irrelevant ideal)이라고 한다. 또한, 이에 대한 몫대수는 다음과 같다.

$A/A_{+}\cong A_{0}$

$a+A_{+}\mapsto a\qquad \forall a\in A_{0}$

예

• 위상 공간 $X$ 위의 코호몰로지 환 $\operatorname {H} ^{\bullet }(X)$은 코호몰로지류의 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 등급환이다.
• 매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식의 공간 $\Omega ^{\bullet }(M)$은 차수에 대하여 자연수 등급을 가진 $\mathbb {R}$-등급 대수이다.
• 모노이드 $M$에 대한 모노이드 환은 $M$ 등급을 가진 등급환이다.
• 클리퍼드 대수는 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$등급을 가진 등급 대수이다.
• 가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 텐서 대수 $\operatorname {T} (M;K)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M^{\otimes _{K}n}$는 $\mathbb {N}$-등급 $K$-대수이며, 이 경우 $\operatorname {T} _{n}(M;K)=M^{\otimes _{K}n}$이다.
• 가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 외대수 $\Lambda (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(m^{2})_{m\in M}$는 $\mathbb {N}$-등급 $K$-대수이다.
• 가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 대칭 대수 $\operatorname {Sym} (M;K)=\operatorname {T} (M;K)/(mn-nm)_{m,n\in M}$는 $\mathbb {N}$-등급 $K$-대수이다. 특히, 가환환 $K$ 위의 다항식환 $K[x_{1},...,x_{n}]$은 $\mathbb {N}$-등급 $K$-대수를 이룬다. 이 경우, 등급 대수를 이루는 각 $A_{n}$ 들은 (0을 포함한) $n$차 동차다항식들의 집합과 같다.

같이 보기

• 미분 등급 대수
• 텐서 대수

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Graded algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Graded ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Graded algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2009년 7월 10일). “Some examples of graded algebras”. 《Annoying Precision》 (영어).