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정초 관계

(정칙성 공리에서 넘어옴)

집합론에서, 정초 관계(整礎關係, 영어: well founded relation)는 (무한히 재귀적이지 않은) 집합의 원소 관계로서 나타낼 수 있는 이항 관계이다. 이 경우 초한 귀납법을 적용할 수 있다.

정의편집

집합   위의 이항 관계  에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이항 관계정초 관계라고 한다.[1]:98, Definition III.3.1

  • 임의의 부분 집합  에 대하여,   가 존재한다.
  • 다음 조건을 만족시키는 열  이 존재하지 않는다.
    • 임의의  에 대하여,  
  • (모스토프스키 붕괴 정리) 다음 조건을 만족시키는 집합  단사 함수  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  
  • (모스토프스키 붕괴 정리) 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합  전단사 함수  가 유일하게 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  

마지막 두 조건은 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 필요로 한다.

성질편집

집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 공집합이다.
  •   위에 반사 관계인 정초 관계  가 존재한다.

이는  에 대한 상수열 이므로 정초 관계의 정의를 위반하기 때문이다.

집합   위의 정초 관계  부분 집합  에 대하여,  의 제한   역시   위의 정초 관계이다.

초한귀납법편집

집합   위의 정초 관계  가 주어졌을 때, 다음과 같은 초한귀납법을 사용할 수 있다. 임의의 술어  에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.

  • 임의의  에 대하여, 만약  라면,  이다.

그렇다면,  가 성립한다.

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정초 집합편집

집합  에서, 원소 관계    위의 정초 관계라면,  정초 집합(整礎集合, 영어: well-founded set)이라고 한다. 체르멜로-프렝켈 집합론정칙성 공리(正則性公理, 영어: axiom of regularity)에 따르면 모든 집합은 정초 집합이다.

정렬 원순서 집합편집

원순서 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:116, Remark 5

  •  정렬 원순서 집합이다.
  •   위의 원순서  를 정의하였을 때, 이항 관계  는 정초 관계이다. (여기서  하폐포를 뜻한다.)

참고 문헌편집

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 23일에 확인함. 
  2. Forster, Thomas (2003). “Better-quasi-orderings and coinduction”. 《Theoretical Computer Science》 (영어) 309 (1–3): 111–123. ISSN 0304-3975. doi:10.1016/S0304-3975(03)00131-2. 

외부 링크편집