축소구간정리

수학에서, 축소구간열(縮小區間列, sequence of nested intervals)은 각 구간이 바로 앞 구간의 부분 집합인 구간들의 이다. 축소구간정리(縮小區間定理, 영어: nested intervals theorem)에 따르면, 닫힌구간으로 구성된 축소구간열은 적어도 하나의 공통 원소를 갖는다.

축소하는 닫힌구간들의 열

정의편집

축소구간열편집

축소구간열은 임의의 자연수  에 대하여  을 만족시키는 구간열  이다.

축소구간열  의 각 항  의 양쪽 끝점을  이라고 하자. 그렇다면 자명하게, 임의의 자연수  에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

  •   (여기서  구간의 길이이다.)
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축소구간정리편집

구간열  이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

  • 모두 닫힌구간이다. 즉, 임의의 자연수  에 대하여,  이다.
  • 축소구간열이다. 즉, 임의의 자연수  에 대하여,  이다.

축소구간정리에 따르면, 이 구간열의 교집합공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 즉,

 

이게 되는 두 실수  가 존재한다.

특히,  이 다음과 같은 조건을 추가로 만족한다고 하자.

  •   즉, 구간의 길이가 0으로 수렴한다.

그렇다면,  이며, 교집합은 한원소 집합이다.

 

축소구간정리는 코시 성질과 동치이다. 즉, 아르키메데스 성질을 덧붙이면 실수의 완비성을 나타내는 여러 공리들과 동치가 된다. 문헌에 따라서는 세 번째 조건이 빠진 서술을 뜻하기도 하는데, 이 또한 더 강한 조건의 축소구간정리와 동치이다.

예와 반례편집

다음 구간열들은 축소구간정리의 전제 조건을 만족하며, 따라서 교집합이 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

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일반적인 축소구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간일 필요가 없다. 즉, 열린구간이나 공집합 등일 수 있다.

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다른 전제 조건편집

축소구간열의 "닫힌구간" 전제 조건은 다음과 같은 조건으로 바꿀 수 있다.

축소구간열  이 만약 조건

  • 임의의 자연수  에 대하여,  이다.

를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 이는

 

이기 때문이다. 여기서  폐포이며, 이들은 닫힌구간으로 구성된 축소 구간열을 이룬다. 예를 들어, 다음과 같다.

  •  
  •   (이는 오른쪽 끝점에만 위 결론을 적용한 경우이다.)

비슷하게, 축소구간열  이 만약 조건

  • 임의의 자연수  에 대하여,  이다.

를 만족시킨다면, 교집합은 역시 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

일반화편집

거리 공간편집

축소구간정리는 유클리드 공간을 비롯한 거리 공간으로 일반화할 수 있다.

거리 공간  부분 집합의 열  이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 임의의  에 대하여,  은 공집합이 아닌 콤팩트 집합이다.
  • 임의의  에 대하여,  이다.

그렇다면, 그들의 교집합은 공집합이 아니다. 또한, 추가적으로 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  •   즉, 거리 공간의 지름이 0으로 수렴한다.

그렇다면, 그들의 교집합은 한원소 집합이다.

위상 공간편집

위상 공간 속, 공집합이 아닌 콤팩트 닫힌집합의 하강 열의 교집합은 공집합이 아니다.

응용편집

이분법 (수학)