치환 적분

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미적분학에서 치환 적분(置換積分, 영어: integration by substitution)은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다.

정의

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부정적분의 경우

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구간  와 함수   이 주어졌다고 하자.

  • 만약  부정적분  가 존재하고,  가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.[1]:246, 定理6.2.1
     
  • 만약  의 원함수  가 존재하고,  가 미분 가능 함수이며, 모든  에 대하여  이라면, 다음이 성립한다.[1]:252, 定理6.2.2
     

정적분의 경우

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만약  연속 미분 가능 함수이며,  연속 함수라면, 다음이 성립한다.[2]:408

 

증명

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부정적분에 대한 첫 번째 명제의 조건에 따라  이며,  가 미분 가능 함수이므로, 연쇄 법칙을 적용하면  을 얻는다. 즉,  의 한 원함수는  이므로 첫 번째 명제가 성립한다.

부정적분에 대한 두 번째 명제의 조건에 따라 모든  에 대하여  이므로, 다르부 정리에 따라 모든  에 대하여  이거나 모든  에 대하여  이다. 따라서  는 존재한다.  이며,  이므로, 다음이 성립한다.

 

즉,  의 한 원함수는  이므로 두 번째 명제가 성립한다.

정적분에 대한 명제의 조건에 따라   는 연속 함수이므로, 원함수가 존재한다. 연쇄 법칙에 따라,  의 한 원함수를  라고 하면,  의 한 원함수는  이다. 미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립하므로, 명제가 성립한다.

 

예 (부정적분)

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첫째 예 (부정적분)

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부정적분

 

에서  이라고 하자. 그러면  이므로  이다. 따라서 다음이 성립한다.[2]:409, Example 2

 

둘째 예 (부정적분)

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부정적분

 

에서  이라고 하자. 그러면  이므로  이다. 따라서 다음이 성립한다.[1]:248, 例6.2.6

 

치환 적분 기법에 익숙할 경우 다음과 같이 두 변수 사이의 치환을 생략해도 좋다.[1]:248, 例6.2.6

 

셋째 예 (부정적분)

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부정적분

 

에서  라고 하자. 그러면  이므로  이다. 따라서 다음이 성립한다.[2]:410, Example 6

 

넷째 예 (부정적분)

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부정적분

 

에서  이므로 다음이 성립한다.[3]:304, Example 7.9

 

다섯째 예 (부정적분)

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부정적분

 

에서  이라고 하자. 그러면  이므로 다음이 성립한다.[1]:254, 例6.2.17

 

예 (정적분)

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첫째 예 (정적분)

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정적분

 

에서  라고 하자. 그러면  이다. 또한  일 때  이며  일 때  이다. 따라서 다음이 성립한다.[3]:303, Example 7.8

 

둘째 예 (정적분)

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정적분

 

에서   ( )라고 하자. 그러면  이다. 또한 다음이 성립한다.

 

마지막에 양수를 취한 것은 모든  에 대하여  이기 때문이다. 또한  일 때  이며,  일 때  이므로, 다음이 성립한다.[4]:42, 例7.4.5

 

이는 사분원의 넓이 공식과 일치한다.

응용

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홀함수와 짝함수의 적분

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치환 적분을 통해 대칭적인 함수의 대칭적인 구간 위의 적분에 대한 공식을 증명할 수 있다.  연속 함수라고 하자.

  • 만약  홀함수라면 (모든  에 대하여  라면), 다음이 성립한다.
     
  • 만약  짝함수라면 (모든  에 대하여  라면), 다음이 성립한다.
     

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 만약  가 홀함수라면, 치환 적분  을 쓴 뒤  를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.

 

만약  가 짝함수라면, 치환 적분  을 쓴 뒤  를 대입하면 다음을 얻으므로 원하는 명제가 성립한다.[4]:41, 例7.4.4

 

주기 함수의 적분

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치환 적분을 통해 주기 함수의 한 주기 동안의 적분이 어디에서나 같음을 증명할 수 있다.   를 주기로 가지는 연속 함수라고 하자. 그렇다면 임의의  에 대하여 다음이 성립한다.

 

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 치환 적분  를 쓴 뒤  를 대입하면 다음을 얻는다.

 

따라서 다음이 성립하므로, 원하는 명제가 성립한다.[4]:42-43, 例7.4.6

 

같이 보기

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각주

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  1. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  2. Stewart, James (2011). 《Single Variable Calculus: Early Transcendentals》 (영어) 7판. Belmont, CA: Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49867-8. LCCN 2010936598. 
  3. Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer Science+Business Media. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1. ISSN 0172-6056. LCCN 2013946572. 
  4. 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0. 

외부 링크

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