케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서, 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다.

정의편집

가환환   위의   정사각 행렬  특성 다항식

 

라고 하자. 여기서  행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:194, §6.4, Theorem 4

 

특히,  일 경우  최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.[1]:194, §6.4, Theorem 4

증명편집

행렬식을 통한 증명편집

가환환

 

위의   행렬

 
 

을 생각하자. 여기서  크로네커 델타이다. 열벡터의 공간  의 표준 기저를  라고 하고,  고전적 수반 행렬 라고 하자. 그렇다면,

 
 
 

이다. 따라서 임의의  에 대하여,

 

이다. 즉,  이다.[1]:194-196, §6.3

삼각화를 통한 증명편집

만약  정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상  대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우  분수체대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선,  상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면,  의 최소 다항식은

 

이다.  은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며,  는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국  을 얻는다.

이제,  이 일반적인 행렬이라고 하자.  가 대수적으로 닫힌 체이므로,  의 최소 다항식   에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서   에서 삼각화 가능 행렬이다.  가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬  를 취하자. 그렇다면  의 최소 다항식 역시  이므로,

 

이다.[1]:204-205, §6.4

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행렬의 거듭제곱편집

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

 단위행렬(곱셈의 항등원)

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

 

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

 

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

 
 

위의 식을 통해 A4을 계산하면 다음과 같다.

 
 
 

2 × 2 역행렬편집

 

3 × 3 역행렬편집

 
 

역사편집

아서 케일리윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

각주편집

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크편집