케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리(영어: Cayley–Hamilton theorem)는 정사각 행렬이 자기 자신의 특성 방정식을 만족시킨다는 정리이다. 아서 케일리와 윌리엄 로언 해밀턴의 이름에서 따왔다.

정의

가환환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \operatorname {Mat} (n;K)$ 의 특성 다항식을

p(x)=\det(x-M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}x^{k}\in K[x]

라고 하자. 여기서 $\det$ 는 행렬식이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]^{:194, §6.4, Theorem 4}

p(M)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}M^{k}=0

특히, $K$ 가 체일 경우 $M$ 의 최소 다항식은 특성 다항식의 약수이다.^[1]^{:194, §6.4, Theorem 4}

증명

행렬식을 통한 증명

가환환

K[M]=\{q(M)\colon q\in K[x]\}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)

위의 $n\times n$ 행렬

N\in \operatorname {Mat} (n;K[M])

N_{ij}=\delta _{ij}M-M_{ij}\in K[M]

을 생각하자. 여기서 $\delta _{ij}$ 는 크로네커 델타이다. 열벡터의 공간 $K^{n}$ 의 표준 기저를 $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ 라고 하고, $N$ 의 고전적 수반 행렬을 $\operatorname {adj} N$ 라고 하자. 그렇다면,

\sum _{j=1}^{n}N_{ij}e_{j}=0

((\operatorname {adj} N)N)_{kj}=\delta _{kj}\det N

\det N=p(M)

이다. 따라서 임의의 $k\in \{1,\dots ,n\}$ 에 대하여,

{\begin{aligned}0&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {adj} N)_{ki}N_{ij}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}((\operatorname {adj} N)N)_{kj}e_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\delta _{kj}(\det N)e_{j}\\&=(\det N)e_{k}\\&=p(M)e_{k}\end{aligned}}

이다. 즉, $p(M)=0$ 이다.^[1]^{:194-196, §6.3}

삼각화를 통한 증명

만약 $K$ 가 정역일 경우, 케일리-해밀턴 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다. 편의상 $K$ 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. (만약 아닐 경우 $K$ 의 분수체의 대수적 폐포를 취하면 된다.)

우선, $M$ 이 상삼각 행렬이라고 하자. 그렇다면, $M$ 의 최소 다항식은

p(x)=(x-M_{11})\cdots (x-M_{nn})

이다. $M-M_{11}$ 은 첫째 열의 모든 성분이 0인 상삼각 행렬이며, $(M-M_{11})(M-M_{22})$ 는 첫째 열과 둘째 열의 성분이 모두 0인 상삼각 행렬이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 $p(M)=0$ 을 얻는다.

이제, $M$ 이 일반적인 행렬이라고 하자. $K$ 가 대수적으로 닫힌 체이므로, $M$ 의 최소 다항식 $p(x)$ 는 $K$ 에서 1차 다항식의 곱이며, 따라서 $M$ 은 $K$ 에서 삼각화 가능 행렬이다. $G^{-1}MG$ 가 상삼각 행렬이 되는 가역 행렬 $G\in \operatorname {GL} (n;K)$ 를 취하자. 그렇다면 $G^{-1}MG$ 의 최소 다항식 역시 $p(x)$ 이므로,