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켤레 복소수

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복소평면에서의 복소수 z와 그 켤레복소수 z

수학에서, 켤레 복소수(-複素數, 영어: complex conjugate) 또는 공액 복소수(共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레복소수허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, 편각덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 복소평면 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 x축에 의하여 대칭이다. 복소수 의 켤레 복소수의 기호는 또는 이다.

정의편집

복소수의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.

 

극 형식으로 쓰면 다음과 같다.

 

켤레 복소수의 기호  켤레 전치의 기호  와의 혼동을 피하려고 할 때 선호된다. 켤레 복소수의 또 하나의 기호  물리학에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히  를 사용한다.

성질편집

항등식편집

켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수  에 대하여,

  •  
  •  
  •  
  •  
  • (덧셈 군 자기 준동형)  
  • (덧셈 군 자기 준동형)  
  • ( 자기 동형)  
  • ( 자기 동형)  
  • (  자기 동형)  
  • (대합)  
  • (노름 자기 동형)  
  •  
  •  
  •  

켤레근 정리편집

정칙 함수  가 만약  를 만족시킨다면, 임의의 복소수  에 대하여,  가 성립한다. 특히,  인 경우, 만약  이라면  이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 켤레근 정리(-根定理, 영어: complex conjugate root theorem)라고 한다.

체론적 성질편집

켤레 복소수 함수는 갈루아 군  의 유일한 비자명 원소이다.

관련 개념편집

행렬의 경우편집

행렬  의 경우, 그 원소별 켤레 복소수를

 

로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

또한, 켤레 전치는 다음과 같이 정의된다.

 

즉, 다음과 같다.

 

외부 링크편집