복소수체 (複素數體, 영어 : field of complex numbers )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
케일리-딕슨 대수
CD
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {CD} (\mathbb {R} )}
체 의 구조만을 기억하여 얻는 체)이다.
구체적으로, 복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
벡터 공간 구조가 존재하며, 그 덧셈은 다음과 같다.
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\qquad a,b,c,d\in \mathbb {R} }
여기에
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
대수 구조를 다음과 같이 추가할 수 있다.
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
a
d
+
b
c
)
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\qquad a,b,c,d\in \mathbb {R} }
그렇다면, 이는 나눗셈 대수 를 이루며, 여기서 체 를 제외한 구조를 잊으면 복소수체를 얻는다. 또한, 실수 단위
(
1
,
0
)
=
1
{\displaystyle (1,0)=1}
허수 단위
(
0
,
1
)
=
i
{\displaystyle (0,1)=i}
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
(
a
,
b
)
=
a
+
b
i
{\displaystyle (a,b)=a+bi}
실수체 는
a
↦
a
+
0
i
{\displaystyle a\mapsto a+0i}
부분 집합
R
⊆
C
{\displaystyle \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
복소수체는 또한 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동형 이다.
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
행렬 대수
Mat
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}
{
(
a
b
−
b
a
)
:
a
,
b
∈
R
}
⊂
Mat
(
2
;
R
)
{\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} \right\}\subset \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}
이 경우, 실수 단위와 허수 단위는 각각 다음과 같다.
1
=
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
i
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle i={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
이차 형식
Q
:
x
↦
−
x
2
{\displaystyle Q\colon x\mapsto -x^{2}}
클리퍼드 대수
Cliff
(
R
,
Q
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {R} ,Q;\mathbb {R} )}
구체적으로, 복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
몫환 과 동형이다.
R
[
x
]
/
(
x
2
+
1
)
=
{
a
+
b
x
+
(
x
2
+
1
)
:
a
,
b
,
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\{a+bx+(x^{2}+1)\colon a,b,\in \mathbb {R} \}}
이 경우, 실수 단위와 허수 단위는 각각 다음과 같다.
1
=
1
+
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle 1=1+(x^{2}+1)}
i
=
x
+
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle i=x+(x^{2}+1)}
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
대수적 폐포
R
¯
{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
복소수의 직교 형식과 극형식과 지수 형식을 복소평면에서 나타낸 것 복소수는 데카르트 좌표계 나 극좌표계 를 갖춘 2차원 유클리드 평면 의 점(또는 벡터)과 일대일 대응한다. 이러한 평면을 복소평면
복소평면의 점은 꼭대깃점을 제외한 리만 구 리만 구 와 일대일 대응을 갖는 집합을 얻는데, 이를 확장된 복소수
복소수
z
{\displaystyle z}
직교 형식 (直交形式, 영어 : cartesian form )은 다음과 같다.
z
=
x
+
i
y
x
,
y
∈
R
{\displaystyle z=x+iy\qquad x,y\in \mathbb {R} }
여기서
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
복소수
z
{\displaystyle z}
극형식 (極形式, 영어 : polar form )은 다음과 같다.
z
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
r
≥
0
,
θ
∈
R
{\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\qquad r\geq 0,\;\theta \in \mathbb {R} }
cos
θ
=
x
x
2
+
y
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}
sin
θ
=
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}
여기서
r
{\displaystyle r}
절댓값 ,
θ
{\displaystyle \theta }
편각 이라고 한다. 절댓값은 복소수와 원점 사이의 거리와 같으며, 편각은 복소수와 원점의 연결선과
x
{\displaystyle x}
오일러 공식
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
에 따라, 복소수
z
{\displaystyle z}
지수 형식 (指數形式, 영어 : exponential form )을 얻을 수 있으며, 이는 다음과 같다.
z
=
r
e
i
θ
r
≥
0
,
θ
∈
R
{\displaystyle z=re^{i\theta }\qquad r\geq 0,\;\theta \in \mathbb {R} }
복소수의 극형식과 지수 형식은 복소수의 곱셈과 나눗셈에서 편리하게 쓰인다.
편집
복소수
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
복소수
z
{\displaystyle z}
z
=
x
+
i
y
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
r
e
i
θ
x
,
y
,
r
,
θ
∈
R
,
r
≥
0
{\displaystyle z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }\qquad x,y,r,\theta \in \mathbb {R} ,\;r\geq 0}
그렇다면, 복소수에 대한 다음과 같은 단항 연산들을 정의할 수 있다.
z
{\displaystyle z}
실수부 (實數部, 영어 : real part )는 실수 단위 1에 붙는 계수이다. 즉, 다음과 같다.
Re
z
=
x
=
r
cos
θ
∈
R
{\displaystyle \operatorname {Re} z=x=r\cos \theta \in \mathbb {R} }
z
{\displaystyle z}
허수부 (虛數部, 영어 : imaginary part )는 허수 단위
i
{\displaystyle i}
Im
z
=
y
=
r
sin
θ
∈
R
{\displaystyle \operatorname {Im} z=y=r\sin \theta \in \mathbb {R} }
z
{\displaystyle z}
절댓값 피타고라스 정리 에 따라, 이는 다음과 같다.
|
z
|
=
x
2
+
y
2
=
r
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r\in [0,\infty )}
z
{\displaystyle z}
편각
arg
z
=
atan2
(
y
,
x
)
=
θ
mod
2
π
∈
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle \operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (y,x)=\theta \,\operatorname {mod} \,2\pi \in (-\pi ,\pi ]}
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
켤레 복소수
z
¯
=
x
−
i
y
=
r
e
−
i
θ
∈
C
z
≠
0
{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=re^{-i\theta }\in \mathbb {C} \qquad z\neq 0}
이러한 기호들을 사용하여 복소수의 세 가지 형식을 다시 쓰면 다음과 같다.
z
=
Re
z
+
i
Im
z
=
|
z
|
(
cos
arg
z
+
i
sin
arg
z
)
=
|
z
|
e
i
arg
z
{\displaystyle z=\operatorname {Re} z+i\operatorname {Im} z=|z|(\cos \operatorname {arg} z+i\sin \operatorname {arg} z)=|z|e^{i\operatorname {arg} z}}
두 복소수가 서로 같을 필요충분조건은 실수부와 허수부가 서로 같은 것이다.
a
+
b
i
=
c
+
d
i
⟺
a
=
c
∧
b
=
d
a
,
b
,
c
,
d
∈
R
{\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c\land b=d\qquad a,b,c,d\in \mathbb {R} }
두 복소수의 합은 다음과 같다.
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
두 복소수의 차는 다음과 같다.
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
특히, 복소수의 덧셈 역원은 다음과 같다.
−
(
a
+
b
i
)
=
(
−
a
)
+
(
−
b
)
i
{\displaystyle -(a+bi)=(-a)+(-b)i}
복소수의 덧셈은 교환 법칙 과 결합 법칙 을 만족시킨다.
두 복소수의 곱셈은 다음과 같다.
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
{\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i}
두 복소수의 나눗셈은 분모의 켤레 복소수 를 분모와 분자에 각각 곱해 구한다. (나누는 수가 0이 아니어야 한다.)
a
+
b
i
c
+
d
i
=
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
+
−
a
d
+
b
c
c
2
+
d
2
i
c
+
d
i
≠
0
{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}i\qquad c+di\neq 0}
특히, 0이 아닌 복소수의 곱셈 역원은 다음과 같다.
1
a
+
b
i
=
a
a
2
+
b
2
−
b
a
2
+
b
2
i
a
+
b
i
≠
0
{\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\qquad a+bi\neq 0}
극형식으로 나타낸 복소수
z
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
{\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}
w
=
s
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle w=s(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
에 대하여 쓰면 다음과 같다.
z
w
=
r
s
(
cos
(
θ
+
φ
)
+
i
sin
(
θ
+
φ
)
)
{\displaystyle zw=rs(\cos(\theta +\varphi )+i\sin(\theta +\varphi ))}
z
w
=
r
s
(
cos
(
θ
−
φ
)
+
i
sin
(
θ
−
φ
)
)
w
≠
0
{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {r}{s}}(\cos(\theta -\varphi )+i\sin(\theta -\varphi ))\qquad w\neq 0}
1
z
=
1
r
(
cos
θ
−
i
sin
θ
)
z
≠
0
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}(\cos \theta -i\sin \theta )\qquad z\neq 0}
마찬가지로, 지수 형식으로 나타낸 복소수
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=re^{i\theta }}
w
=
s
e
i
φ
{\displaystyle w=se^{i\varphi }}
에 대하여 쓰면 다음과 같다.
z
w
=
r
s
e
i
(
θ
+
φ
)
{\displaystyle zw=rse^{i(\theta +\varphi )}}
z
w
=
r
s
e
i
(
θ
−
φ
)
w
≠
0
{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {r}{s}}e^{i(\theta -\varphi )}\qquad w\neq 0}
1
z
=
1
r
e
−
i
θ
z
≠
0
{\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}e^{-i\theta }\qquad z\neq 0}
복소수의 곱셈은 교환 법칙 과 결합 법칙 을 만족시키며, 덧셈에 대한 분배 법칙 을 만족시킨다. 이에 따라, 복소수의 집합은 체 를 이룬다.
복소수체 위에는 순서체 의 구조를 줄 수 없다. 즉, 다음을 만족시키는 전순서
≤⊆
C
×
C
{\displaystyle \leq \subseteq \mathbb {C} \times \mathbb {C} }
임의의
z
,
w
∈
C
{\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }
z
,
w
>
0
{\displaystyle z,w>0}
z
+
w
>
0
{\displaystyle z+w>0}
z
w
>
0
{\displaystyle zw>0}
귀류법 을 사용하여, 복소수체가 순서체가 되게 하는 전순서
≤⊆
C
×
C
{\displaystyle \leq \subseteq \mathbb {C} \times \mathbb {C} }
0
<
i
{\displaystyle 0<i}
이거나
0
<
−
i
{\displaystyle 0<-i}
이다. 따라서,
0
<
(
±
i
)
2
=
−
1
{\displaystyle 0<(\pm i)^{2}=-1}
이며,
0
<
(
−
1
)
2
=
1
{\displaystyle 0<(-1)^{2}=1}
이며,
0
<
−
1
+
1
=
0
{\displaystyle 0<-1+1=0}
이다. 이는 모순이다.
물론,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(사전식 순서 : 전순서 )
z
<
w
⟺
Re
z
<
Re
w
∨
(
Re
z
=
Re
w
∧
Im
z
<
Im
w
)
z
,
w
∈
C
{\displaystyle z<w\iff \operatorname {Re} z<\operatorname {Re} w\lor (\operatorname {Re} z=\operatorname {Re} w\land \operatorname {Im} z<\operatorname {Im} w)\qquad z,w\in \mathbb {C} }
(직접곱 : 부분 순서 )
z
≤
w
⟺
Re
z
≤
Re
w
∧
Im
z
≤
Im
w
z
,
w
∈
C
{\displaystyle z\leq w\iff \operatorname {Re} z\leq \operatorname {Re} w\land \operatorname {Im} z\leq \operatorname {Im} w\qquad z,w\in \mathbb {C} }
(절댓값의 크기 비교: 원전순서 )
z
≤
w
⟺
|
z
|
≤
|
w
|
z
,
w
∈
C
{\displaystyle z\leq w\iff |z|\leq |w|\qquad z,w\in \mathbb {C} }
복소수의 실수부와 허수부는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Re
z
=
|
z
|
cos
arg
z
=
z
+
z
¯
2
{\displaystyle \operatorname {Re} z=|z|\cos \operatorname {arg} z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}}
Im
z
=
|
z
|
sin
arg
z
=
z
−
z
¯
2
i
{\displaystyle \operatorname {Im} z=|z|\sin \operatorname {arg} z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}}
복소수의 실수부와 허수부에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
Re
(
z
±
w
)
=
Re
z
±
Re
w
{\displaystyle \operatorname {Re} (z\pm w)=\operatorname {Re} z\pm \operatorname {Re} w}
Im
(
z
±
w
)
=
Im
z
±
Im
w
{\displaystyle \operatorname {Im} (z\pm w)=\operatorname {Im} z\pm \operatorname {Im} w}
Re
(
z
w
)
=
Re
z
Re
w
−
Im
z
Im
w
{\displaystyle \operatorname {Re} (zw)=\operatorname {Re} z\operatorname {Re} w-\operatorname {Im} z\operatorname {Im} w}
Im
(
z
w
)
=
Re
z
Im
w
+
Im
z
Re
w
{\displaystyle \operatorname {Im} (zw)=\operatorname {Re} z\operatorname {Im} w+\operatorname {Im} z\operatorname {Re} w}
복소수의 절댓값 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|
z
|
=
(
Re
z
)
2
+
(
Im
z
)
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|={\sqrt {(\operatorname {Re} z)^{2}+(\operatorname {Im} z)^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}}
복소수의 절댓값은 노름 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
|
z
|
≥
0
{\displaystyle |z|\geq 0}
|
z
|
=
0
⟺
z
=
0
{\displaystyle |z|=0\iff z=0}
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
+
w
|
=
|
z
|
+
|
w
|
⟺
z
w
¯
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle |z+w|=|z|+|w|\iff z{\bar {w}}\in [0,\infty )}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z||w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
복소수의 편각 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
arg
z
=
atan2
(
Im
z
,
Re
z
)
=
1
2
i
ln
z
z
¯
{\displaystyle \operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (\operatorname {Im} z,\operatorname {Re} z)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {z}{\bar {z}}}}
복소수의 편각에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
arg
(
z
w
)
≡
arg
z
+
arg
w
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \operatorname {arg} (zw)\equiv \operatorname {arg} z+\operatorname {arg} w{\pmod {2\pi }}}
arg
z
w
≡
arg
z
−
arg
w
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \operatorname {arg} {\frac {z}{w}}\equiv \operatorname {arg} z-\operatorname {arg} w{\pmod {2\pi }}}
켤레 복소수 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
z
¯
=
Re
z
−
i
Im
z
=
|
z
|
e
−
i
arg
z
{\displaystyle {\bar {z}}=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Im} z=|z|e^{-i\operatorname {arg} z}}
켤레 복소수
¯
:
C
→
C
{\displaystyle {\bar {}}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
대합 노름 대수 자기 동형 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|}
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}
z
−
w
¯
=
z
¯
−
w
¯
{\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {\frac {z}{w}}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}}
그러나 켤레 복소수는 정칙 함수 가 아니다.
복소수
z
{\displaystyle z}
만약
Im
z
=
0
{\displaystyle \operatorname {Im} z=0}
z
{\displaystyle z}
실수
만약
Im
z
≠
0
{\displaystyle \operatorname {Im} z\neq 0}
z
{\displaystyle z}
허수 만약
Im
z
≠
0
{\displaystyle \operatorname {Im} z\neq 0}
Re
z
=
0
{\displaystyle \operatorname {Re} z=0}
z
{\displaystyle z}
순허수 사실, 복소수
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
Im
z
=
0
{\displaystyle \operatorname {Im} z=0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
arg
z
=
0
,
π
{\displaystyle \operatorname {arg} z=0,\pi }
z
=
z
¯
{\displaystyle z={\bar {z}}}
또한, 다음 조건들이 서로 동치이다.
z
{\displaystyle z}
Re
z
=
0
≠
Im
z
{\displaystyle \operatorname {Re} z=0\neq \operatorname {Im} z}
arg
z
=
±
π
2
{\displaystyle \operatorname {arg} z=\pm {\frac {\pi }{2}}}
z
=
−
z
¯
≠
0
{\displaystyle z=-{\bar {z}}\neq 0}
예를 들어,
−
1
,
1
/
3
,
2
3
,
π
{\displaystyle -1,1/3,{\sqrt[{3}]{2}},\pi }
1
+
i
,
−
2
i
,
2
+
3
i
{\displaystyle 1+i,-2i,2+{\sqrt {3}}i}
−
2
i
{\displaystyle -2i}
복소수
z
{\displaystyle z}
만약
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle f(z)=0}
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
z
{\displaystyle z}
대수적 수
만약
f
(
z
)
=
0
{\displaystyle f(z)=0}
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
z
{\displaystyle z}
초월수 예를 들어,
2
3
,
(
1
+
i
)
/
2
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}},(1+i)/{\sqrt {2}}}
e
,
π
{\displaystyle e,\pi }
대수학의 기본 정리 에 따르면, 복소수 계수 다항식의 근은 모두 복소수이다. 예를 들어,
±
i
=
±
1
+
i
2
{\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}}
는 여전히 복소수이다. 따라서, 복소수는 다항식의 가상의 근을 새로운 원소로서 첨가하는 방식으로는 더 이상 확장되지 않는다. 추상대수학의 용어를 사용하면, 복소수체는 대수적으로 닫힌 체 이다.
하지만 복소수에 포함되지 않는 다른 수가 존재하지 않는다는 의미는 아니다. 수라는 것은 인간의 자유로운 상상력을 기반으로 얼마든지 만들 수 있기 때문이다. 예를 들어
x
=
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x}}=-1}
x
{\displaystyle x}
[ 1] 초월 확대 를 사용하면 얼마든지 복소수체를 더 큰 체로 확장할 수 있다. 또한, 복소수체를 사원수 라는 더 큰 나눗셈 대수 로 확장할 수 있다. 그러나, 3차원 이상의
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
대수 는 체 가 될 수 없다.
역사적으로 음수의 제곱근이 최초로 나타난 것은, 서기 1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산드리아의 헤론 이 피라미드 의 절단에 대한 부피를 계산할 때이다. 좀 더 명확히 나타난 때는 타르탈리아 나 제롤라모 카르다노 와 같은 16세기 이탈리아 수학자들이 삼차와 사차 다항방정식의 근에 대한 공식을 발견할 때이다. 그 당시의 수학자들은 이 공식들에서 실수해만을 구하려고 하였지만 그 과정에서 음수의 제곱근이 다루어지는 과정이 필요함을 곧 알 수 있었다. 그 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했으므로 복소수는 수로서 인정되지 못했다.
17세기에 르네 데카르트 가 처음으로 "허수"라는 용어를 사용하였다. 18세기에 아브라암 드무아브르 와 레온하르트 오일러 의 복소수에 대한 업적이 있었다. 유명한 드무아브르의 공식 에 드무아부르의 업적이 나타나 있다:
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta \,}
그리고 복소해석학 에서의 오일러의 공식 에서 오일러의 업적을 볼 수 있다:
cos
θ
+
i
sin
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }\,}
복소수의 존재성에 대해서는 1799년 카스파르 베셀 이 복소수를 기하적인 표현으로 나타냄으로써 비로소 완전히 받아들여졌다. 이것은 수년 후에 카를 프리드리히 가우스 가 발견하여 널리 알려져서, 결국 복소수가 매우 중요한 수의 확장으로 받아 들여졌다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 월리스 의 <De Algebra tractatus>에도 나타났다.
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\{a+bx+(x^{2}+1)\colon a,b,\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ae84aa5b03b1974c8b47fc641e928d850b8dd0)
![{\displaystyle \operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (y,x)=\theta \,\operatorname {mod} \,2\pi \in (-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1973063135af6ae66bf0027cc854a031bb308ab3)
![{\displaystyle -1,1/3,{\sqrt[{3}]{2}},\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1695f1b01b36d913203bf49149aa3494cbbee5a1)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}},(1+i)/{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ebdb59e8ca2420c7b248a5c9dbc30295b8ead9)
