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선형대수학 에서, 어떤 복소수 행렬 의 켤레전치 (-轉置, 영어 : conjugate transpose ) 또는 에르미트 전치 (-轉置, 영어 : Hermitian transpose ) 또는 에르미트 수반 (-隨伴, 영어 : Hermitian adjoint ) 또는 수반 행렬 (隨伴行列, 영어 : adjoint matrix ) 또는 딸림 행렬 (-行列)은 그 행렬의 전치 행렬 을 취한 뒤 성분별 켤레 복소수 를 취하여 얻는 행렬이다. 실수 행렬의 전치 행렬과 복소수 의 켤레 복소수의 공통적인 일반화이다. 기호는
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
H
{\displaystyle A^{\operatorname {H} }}
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }}
복소수
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
행렬
A
{\displaystyle A}
켤레전치 는 다음과 같은
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
∗
=
A
T
¯
=
A
¯
T
{\displaystyle A^{*}={\overline {A^{\operatorname {T} }}}={\overline {A}}^{\operatorname {T} }}
즉, 각 위치의 성분은 다음과 같다.
A
i
j
∗
=
A
j
i
¯
{\displaystyle A_{ij}^{*}={\overline {A_{ji}}}}
보다 일반적으로, 복소수 내적 공간
V
,
W
{\displaystyle V,W}
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
켤레전치 선형 변환 (영어 : adjoint linear transformation )은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
T
∗
:
W
→
V
{\displaystyle T^{*}\colon W\to V}
임의의
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
w
∈
W
{\displaystyle w\in W}
⟨
T
v
,
w
⟩
=
⟨
v
,
T
∗
w
⟩
{\displaystyle \langle Tv,w\rangle =\langle v,T^{*}w\rangle }
만들어지게 된 동기 편집
복소수를 실수로 이루어진 2×2 행렬과 동치라고 하면 행렬의 덧셈과 곱셈이 복소수를 계산한 것과 같은 결과를 보인다는 것이 켤레전치가 나타나게 된 동기가 되었을 수 있다.
a
+
i
b
≡
(
a
−
b
b
a
)
.
{\displaystyle a+ib\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}
(
a
+
i
b
)
±
(
c
+
i
d
)
≡
(
a
−
b
b
a
)
±
(
c
−
d
d
c
)
=
(
a
±
c
−
(
b
±
d
)
b
±
d
a
±
c
)
≡
(
(
a
±
c
)
+
i
(
b
±
d
)
)
.
{\displaystyle \left(a+ib\right)\pm \left(c+id\right)\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\pm {\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\pm c&-\left(b\pm d\right)\\b\pm d&a\pm c\end{pmatrix}}\equiv \left(\left(a\pm c\right)+i\left(b\pm d\right)\right).}
(
a
+
i
b
)
(
c
+
i
d
)
≡
(
a
−
b
b
a
)
(
c
−
d
d
c
)
=
(
a
c
−
b
d
−
(
a
d
+
c
b
)
a
d
+
c
b
a
c
−
b
d
)
≡
(
(
a
c
−
b
d
)
+
i
(
a
d
+
c
b
)
)
.
{\displaystyle \left(a+ib\right)\left(c+id\right)\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-\left(ad+cb\right)\\ad+cb&ac-bd\end{pmatrix}}\equiv \left(\left(ac-bd\right)+i\left(ad+cb\right)\right).}
이것은 아르강 도표에서의 선형 변환을 나타내는 2×2 실행렬으로 복소수 z 를 표현할 수 있음을 의미한다.
m ×n 의 복소수 행렬은 이와 같은 방식으로 2m ×2n 의 실행렬으로 표현될 수 있다. 켤레전치는 이 실행렬을 전치하여 n ×m 의 복소행렬으로 표현하는 과정에서 자연스럽게 등장했다.
켤레전치는 2차 반쌍선형 반대 동형이다. 즉, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
(
A
+
B
)
∗
=
A
∗
+
B
∗
{\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}
(
c
A
)
∗
=
c
¯
A
∗
c
∈
C
{\displaystyle (cA)^{*}={\bar {c}}A^{*}\qquad c\in \mathbb {C} }
(
A
B
)
∗
=
B
∗
A
∗
{\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}
(
A
∗
)
∗
=
A
{\displaystyle (A^{*})^{*}=A}
유한 차원 내적 공간의 경우, 켤레전치 선형 변환은 켤레 전치 행렬의 개념과 일치한다. 즉, 서로 켤레전치 선형 변환은 서로 켤레전치 행렬을 갖는다. 반대로, 행렬의 왼쪽 곱셈 선형 변환의 켤레전치 선형 변환은 그 켤레전치 행렬의 왼쪽 곱셈 선형 변환이다. 즉, 행렬
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
C
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {C} )}
x
∈
C
n
{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}
y
∈
C
m
{\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}
C
m
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
만약
A
=
(
1
−
2
−
i
1
+
i
i
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2-i\\1+i&i\end{pmatrix}}}
이라면,
A
∗
=
(
1
1
−
i
−
2
+
i
−
i
)
{\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\end{pmatrix}}}
이다.
관련 개념 편집
같이 보기 편집
참고 문헌 편집
외부 링크 편집 
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