복소해석학에서 코시 변환(영어: Cauchy transform) 또는 코시형 적분(-型積分, 영어: Cauchy-type integral)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다.
조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선 γ : [ a , b ] → C {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} } 위에 정의된 연속 함수 φ : γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle \varphi \colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } 의 코시 변환 상 C f {\displaystyle {\mathcal {C}}f} 는 다음과 같은 함수이다.
조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선 γ : [ a , b ] → C {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} } 위에 정의된 연속 함수 f : γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle f\colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } 의 코시 변환 상 C f : C ∖ γ ( [ a , b ] ) → C {\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} } 는 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 및 w ∈ C ∖ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])} 에 대하여, 다음이 성립한다.
증명:[1]:89
임의의 w ∈ C ∖ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])} 및 w ′ ∈ B ( w , d ( w , γ ( [ a , b ] ) ) / 2 ) {\displaystyle w'\in \operatorname {B} (w,d(w,\gamma ([a,b]))/2)} 를 취하자. 그렇다면, 임의의 z ∈ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle z\in \gamma ([a,b])} 에 대하여,
이다. 이 급수는
이므로 z ∈ γ ( [ a , b ] ) {\displaystyle z\in \gamma ([a,b])} 에서 균등 수렴한다. 따라서,
이다. 즉, C f {\displaystyle {\mathcal {C}}f} 는 w {\displaystyle w} 에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 n {\displaystyle n} 에 대하여,
가 성립한다.
유계 연결 열린집합 D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } 의 경계 ∂ D {\displaystyle \partial D} 가 유한 개의 조각마다 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 f : cl D → C {\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} } 가 D {\displaystyle D} 에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, f | ∂ D {\displaystyle f|_{\partial D}} 의 코시 변환 상은
이다.
(양의 방향을 갖는) 곡선[2]:5-6
위의 연속 함수
에 대한 코시 변환 상은