적분 변환

함수해석학에서 적분 변환(積分變換, 영어: integral transform)은 어떤 핵(영어: kernel)과의 적분으로 정의되는, 함수 공간 또는 단면 공간 위의 선형 변환이다. 원래 함수의 특성을 좀 더 쉽게 포착하고 응용하기 위해 사용한다. 보통은 변환된 함수를 역변환을 통해 원래 함수 공간으로 매핑할 수 있다.

간단한 형태

적분 변환은 어떤 변환 $T$ 에 대해 다음과 같이 나타난다.

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)K(t,u)dt

$f$ 는 선형 변환에 사용한 함수를, $Tf$ 는 변환된 함수를 나타낸다. 적분 변환은 일종의 수학적 연산자이다.

$K$ 는 원래의 함수와 변환된 함수의 변수를 모두 가지고 있는 함수로, 적분변환은 이 함수를 잘 선택하여 얻는다. 위 식에서 $K$ 를 변환의 커널(kernel) 혹은 핵이라고 부른다.

어떤 커널들은 자신과 연관된 (간단하게 말해서)역커널 $K^{-1}(u,t)$ 이 존재하고, 그것에 대해 역변환을 생각할 수 있다.

$f(t)=\int _{u_{1}}^{u2}(Tf)(u)K^{-1}(u,t)du$

한편, 커널의 변수의 위치를 바꿔도 커널이 바뀌지 않는 커널을 대칭커널이라고 한다.. 다시 말해서 $K(t,u)=K(u,t)$ 인 커널 $K$ 은 대칭커널이다. 적분 방정식에서 대칭 커널은 자기 수반 연산자이다.^[1]

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.^[2]

매끄러운 다양체 $M$
두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 및 $F\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 곱공간 $M\times M$ 의 사영 함수

\operatorname {proj} _{1},\operatorname {proj} _{2}\twoheadrightarrow M

를 통해, $M\times M$ 위의 매끄러운 벡터 다발

E\boxtimes F^{*}=\operatorname {proj} _{1}^{*}E\otimes \operatorname {proj} _{2}^{*}F^{*}

를 정의할 수 있다.

$(E,F)$ -핵(核函數, 영어: kernel)은 다음과 같은 꼴의 매끄러운 단면이다.

K\in \Gamma ^{\infty }\left(\left(E\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\boxtimes \left(F^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\right)

(여기서 $\Gamma ^{\infty }$ 는 매끄러운 단면의 공간을 뜻하며, ${\sqrt {|\Lambda (M)|}}$ 는 무게 $(\dim M)/2$ 의 텐서 밀도의 실수 선다발을 뜻한다.)

일반화 단면

$E$ 에 추가로 매끄러운 노름이 주어졌다고 하자.

이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.

\Gamma _{\text{comp}}^{\infty }({\mathcal {E}}^{*}\otimes |\Lambda (M)|)

여기서

$\Gamma _{\text{comp}}^{\infty }(-)$ 는 콤팩트 지지 매끄러운 단면들의 공간이다.
$|\Lambda (M)|$ 은 $M$ 위의, 무게 $\dim M$ 의 텐서 밀도의 실수 선다발이다.

이 위에는 균등 노름을 부여하여 노름 공간으로 만들 수 있다.

$E$ 의 일반화 단면(一般化斷面, 영어: generalized section)의 위상 벡터 공간은 위 노름 공간의 연속 쌍대 공간이다. 이를

\Gamma ^{-\infty }(E)

로 표기하자.

적분 변환

$(E,F)$ -핵 $K$ 에 대응되는 적분 변환은 다음과 같은 꼴의 실수 선형 변환이다.

\Gamma ^{-\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(F)

s\mapsto \int _{M}K(x,y)s(x)\,\mathrm {d} x

성질

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

콤팩트 매끄러운 다양체 $M$
$M$ 위의 두 (유한 차원) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 및 $F\twoheadrightarrow M$
$E$ 와 $F$ 위의 (매끄러운) 노름

슈와르츠 핵 정리(Schwartz核定理, 영어: Schwartz kernel theorem)에 따르면, 콤팩트 공간 $M$ 위에서 핵의 공간과 적분 변환의 공간 사이에는 다음과 같은 표준적인 전단사 실수 선형 변환이 존재한다.

\Gamma ^{\infty }\left(\left(E\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\boxtimes \left(F^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\right)\to \operatorname {B} \left(\Gamma ^{-\infty }(E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}}),\Gamma (F\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}})\right)

K\mapsto \left(s\mapsto \left(y\mapsto \int _{M}s(x)K(x,y)\,\mathrm {d} x\right)\right)\qquad \left(K\in \Gamma ^{\infty }\left(\left(E\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\boxtimes \left(F^{*}\otimes {\sqrt {|\Lambda (M)|}}\right)\right),\;s\in \Gamma ^{-\infty }(E\otimes {\sqrt {|\Lambda M|}}),\;y\in M\right)

여기서 $\operatorname {B} (-,-)$ 는 유계 작용소들의 노름 공간을 뜻한다.

예

유클리드 공간 위의, 흔히 사용되는 적분 변환들은 다음과 같다.

적분 변환 목록
변환	기호	$K$	t₁	t₂	$K^{-1}$	u₁	u₂
푸리에 변환	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
하틀리 변환	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
멜린 변환	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
양측 라플라스 변환	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
라플라스 변환	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}\,$	$0\,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
바이어슈트라스 변환	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
항켈 변환		$t\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0\,$	$\infty \,$
아벨 변환		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$	$u\,$	$\infty \,$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	$t\,$	$\infty \,$
힐베르트 변환	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty \,$	$\infty \,$
푸아송 핵		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0\,$	$2\pi \,$
동일 변환		$\delta (u-t)\,$	$t_{1}<u\,$	$t_{2}>u\,$	$\delta (t-u)\,$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

역사

슈와르츠 핵 정리는 로랑 슈와르츠가 1952년에 유클리드 공간에 대하여 발표하였다.^[3]

각주

↑ Philip M. Morse; Herman Feshbach (1953). 〈8〉. 《Methods of Theoretical Physics》. International Series in Pure and Applied Physics 1. McGRAW-HILL Book company. 908쪽.
↑ Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.
↑ L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230

같이 보기

외부 링크

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“Integral transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Kernel of an integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Integral operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Nuclear bilinear form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Fredholm kernel”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Schwartz kernel theorem for topological spaces” (영어). Math Overflow.

[1] Philip M. Morse; Herman Feshbach (1953). 〈8〉. 《Methods of Theoretical Physics》. International Series in Pure and Applied Physics 1. McGRAW-HILL Book company. 908쪽.

[2] Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.

[3] L. Schwartz, "Théorie des noyaux" , Proc. Internat. Congress Mathematicians (Cambridge, 1950) , 1 , Amer. Math. Soc. (1952) pp. 220–230

[1]

[2]

[3]