내부자기동형사상

(켤레류 방정식에서 넘어옴)

군론에서, 내부자기동형사상(內部自己準同型寫像, 영어: inner automorphism)은 의 원소를 고정 원소에 대한 켤레 원소에 대응시키는 군 자기동형사상이다.

정의편집

군의 원소  에 대한 내부자기동형사상은 다음과 같다.

 
 

 내부자기동형군    위 내부자기동형사상이 이루는 군이다. 이는 자기동형군  정규 부분군이다.

켤레류편집

군의 서로 켤레 원소    가 존재하는 두 원소이다. 서로 켤레는 군 위의 동치 관계이다.

군의 원소  켤레류(-類, 영어: conjugacy class) 또는 공액류(共軛類)는 다음과 같은 집합이다.

 

이는   위의 켤레 관계에 대한 동치류이다. 즉, 군을 분할한다. 또한, 켤레류는 내부자기동형사상이 유도하는 군의 작용궤도이다.

성질편집

내부자기동형군은 자기동형군정규 부분군이다.

 

이에 대한 몫군

 

외부자기동형군이라고 한다.

군의 원소를 그에 대한 내부자기동형사상에 대응시키는 군 준동형

 
 

은 내부자기동형군이며, 은 군의 중심이다. 따라서 다음 동형이 성립한다.

 

켤레류 방정식편집

이 군 준동형은 군의 작용으로 볼 때, 그 궤도는 켤레류이며, 안정자군중심화 부분군이다. 따라서 다음과 같은 항등식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식(영어: class equation)이라고 한다.

 

 

여기서

  •  는 크기 1 이상의 켤레류들이다.
  •  는 중심화 진부분군들이다.
  •  는 중심이다. 중심의 원소일 조건은 켤레류가 한원소 집합일 조건 및 중심화 부분군이  일 조건과 동치이다.

참고 문헌편집