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군론에서, 순환군(循環群, 영어: cyclic group)은 하나의 원소에 의하여 생성되는 이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정 원소의 거듭제곱이다. 가법군의 경우 모든 원소는 어떤 고정 원소의 정수배이다.

정의편집

의 원소  가 생성하는 순환군  은 다음과 같다.

 

차수편집

 차수(次數, 영어: order) 또는 위수(位數)  집합의 크기를 뜻한다.

군의 원소  차수  는 그 원소가 생성하는 순환군의 차수이다. 즉, 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

 

지수편집

 지수(指數, 영어: exponent)  는 모든 원소를 거듭제곱하여 항등원이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.

 

분류편집

순환군은 정수군 또는 그 몫군동형이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.

 

성질편집

약수 관계편집

군의 유한 차수 원소   및 정수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  
  •  

증명:

  • (⇐)  이라면,   가 존재하므로,  이다.
  • (⇒)  이라면,   의 나머지 있는 나눗셈을  라고 하면,  이므로, 차수의 정의에 따라  이다. 즉,  이다.

지수가 유한한 군   및 정수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의  에 대하여,  
  •  

증명:

  • (⇐)  이라면,   가 존재하므로, 임의의  에 대하여,  이다.
  • (⇒) 임의의  에 대하여  이라면, 임의의  에 대하여  이므로, 지수의 정의에 따라  이다.

유한군  에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

 

군의 유한 차수 원소  정규 부분군  에 대하여, 다음과 같은 약수 관계가 성립한다.

 

증명:

 

항등식편집

군의 유한 차수 원소   및 정수  에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

  •  
    • 증명:  
  •  
    • 증명:  이므로,  이므로,  이므로,  

군의 원소  가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  •  
  •  

그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

증명:

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

  •  
    • 증명:  
  •  
    • 증명:  이므로,  이므로,  이다. 비슷하게,  이다. 따라서,  이다.

반대로, 군의 원소  의 차수를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다고 하자.

 

그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  •  
  •  

증명:

베주 항등식에 따라, 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다.

 

조건을 만족시키는  를 다음과 같이 취할 수 있다.

 
 

다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.

  •  ,  
    • 증명:  
  •  ,  
    • 증명:  

유한 아벨 군  에 대하여, 다음 조건을 만족시키는  가 존재한다.

  • 임의의  에 대하여,  

즉, 다음이 성립한다.

 

증명:

최대 차수 원소  를 취하자. 임의의  에 대하여,

 

라고 가정하자. 그렇다면,

 

를 만족시키는 소인수  가 존재한다. 이 경우,

 
 

이므로,

 

이며, 이는 모순이다.

순환군편집

모든 순환군은 유한 생성 아벨 군이다.

 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •  소수이다.
  •  는 순환 단순군이다.
  •  아벨 단순군이다.

증명:

  • 소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:  가 소수라면, 라그랑주 정리에 따라, 그 부분군은  밖에 없으므로,  는 단순군이다.  를 취하자. 그렇다면,  이므로,  이다. 즉,  는 순환군이다.
  • 순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.
  • 아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:  가 소수가 아니라고 가정하자.  가 순환군인 경우, 자명하지 않은 (정규) 부분군이 존재하므로,  는 단순군이 아니며, 이는 모순이다.  가 순환군이 아닌 경우, 임의의  를 취하자. 그렇다면,  이며,  이므로,  는 단순군이 아니며, 이 역시 모순이다.

순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로,  의 부분군은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

 

순환군의 몫군 역시 순환군이다.

유한군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 순환군이다.
  • 임의의,  의 양의 약수  에 대하여,  이다.
  • 임의의  에 대하여,  이다.

증명:

  • (1) ⇒ (2): 순환군  의, 크기  의 부분군은  가 유일하다.
  • (1) ⇐ (2): 임의의  에 대하여,  임을 증명하자. (여기서  오일러 피 함수이다.) 그렇다면, 특히   가 존재하므로,  는 순환군이다.
    • 증명:   를 취하자. 그렇다면, (2)에 의하여  이므로,   가 존재한다. 차수 공식을 사용하면  를 얻는다. 즉, 구하려는 수는 0이거나  이다. 또한,  이므로, 구하려는 수는  이다.
  • (1) ⇔ (3):: 쉴로브 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

순환군  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •  
  •  

증명:

  • (⇐)  
  • (⇒) 만약  이라면,  이므로,  이다.

코시 정리에 따르면, 임의의 소인수  에 대하여,   가 존재한다.

응용편집

유한 아벨 군의 분해편집

유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다.  가 아벨 유한 p-군,  가 그 최대 차수 원소라고 하자. 그렇다면,   가 존재한다.

증명:

귀류법을 사용하여,  가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면,  이며,  이므로, 최소 차수 원소  를 취할 수 있다. 이제 다음과 같은 일련의 명제를 증명하기만 하면 된다.

  •  
    • 증명: 그렇지 않다면,   ( )이며,  이므로,  이다.   ( )이라고 하자. 그렇다면,  이므로,  이다. 따라서,  이며,  인데, 이는  의 선택과 모순이다.
  •  
    • 증명:   ( )라고 하자. 그렇다면,   가 존재하며,  이다. 이는 모순이다.
  •  은 최대 차수 원소이다.
    • 증명: 우선  이다.  라고 가정하면,  이므로,  이다. 이는 모순이다. 따라서  이며,  은 최대 차수 원소이다.
  •   가 존재한다.
    • 증명:  
  •  
    • 증명: 우선,  이므로,  이다. 또한,  이므로,  이며,  이다.

외부 링크편집