클라인 부분군

군론에서 클라인 부분군(Klein部分群, 영어: Kleinian subgroup)은 의 이산 부분군이다.[1]

정의편집

복소수 계수 2차원 사영 선형군  를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다.

  • 3차원 쌍곡 공간  의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다.
  • 3차원 열린 공  의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다.

 부분군  이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 클라인 부분군이라고 한다.

  • 임의의  안정자군  유한군이다.
  • 임의의  의 궤도  는 ( 부분 공간으로서) 이산 공간이다.

무한구편집

열린 공  의 (  속에서의) 폐포  를 생각하자.   및 모든 클라인 부분군은   위에 자연스럽게 작용한다.

경계  무한구(영어: sphere at infinity)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군  는 그 위에 작용한다. 임의의 점  의 궤도

 

응집점의 집합을  극한 집합(영어: limit set)이라고 한다.

성질편집

클라인 부분군  이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합  을 생각하자. 만약   의 유한 생성 부분군이라면,

 

리만 곡면의 유한형 오비폴드이다.

역사편집

펠릭스 클라인[2]앙리 푸앵카레가 1883년에 도입하였다.[3] “클라인 부분군”(프랑스어: groupe kleinéen)이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다.

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자명군은 자명하게 클라인 부분군이다.

비안키 군편집

양의 제곱 인수가 없는 정수  에 대하여, 허수 이차 수체  대수적 정수환  이 주어졌을 때,

 

는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 비안키 군(영어: Bianchi group)이라고 한다.

쌍곡 다양체의 기본군편집

임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체  기본군  이 클라인 부분군  과 (군으로서) 동형일 때,   미분 동형이다. 이 경우,   클라인 모형(영어: Kleinian model)이라고 한다.

참고 문헌편집

  1. Bers, Lipman; Kra, Irwin, 편집. (1974), 《A crash course on Kleinian groups》, Lecture Notes in Mathematics 400, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0065671, MR 0346152 
  2. Klein, Felix (1883). “Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 21 (2): 141–218. doi:10.1007/BF01442920. ISSN 0025-5831. JFM 15.0351.01. 
  3. Poincaré, Henri (1883). “Mémoire sur Les groupes kleinéens”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 3: 49–92. doi:10.1007/BF02422441. ISSN 0001-5962. JFM 15.0348.02. 

외부 링크편집