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방향 (다양체)

미분기하학위상수학에서, 다양체방향(方向, 영어: orientation 오리엔테이션[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다.

정의편집

위상다양체의 방향편집

  차원 위상다양체라고 하자. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간위상 동형이므로, 모든 점  에 대하여, 상대 호몰로지 

 

의 꼴이다.

이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층  이 존재한다. 이를  방향층(方向層, 영어: orientation sheaf)이라고 한다. 물론, 정수환   대신 다른 가환환   계수를 사용할 수 있으며, 이 경우  -가군국소 상수층  를 얻는다.

 에서의 국소 방향(局所方向, 영어: local orientation)은 무한 순환군  의 두 생성원 가운데 하나이다.

  위의 방향은 방향층  의 단면 가운데, 각 점  에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 열린 덮개  . 또한, 각  에 대하여  축약 가능 공간이라고 하자.
    • 이에 따라, 임의의  에 대하여,   속의 임의의 두 점  에 대하여, 표준적인 군 동형 사상  가 존재한다.
  •    속의 임의의 점  에 대하여, 국소 방향  . 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의   속에  에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.

이는 다음 조건을 따라야 한다.

  • 임의의   에 대하여,  에서의 국소 방향이  에서의 국소 방향과 일치한다.

미분다양체의 방향편집

  차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면   위의 방향은 항상 0이 아닌  미분 형식동치류다. 만약 두  미분 형식  ,   의 꼴이고,  매끄러운 함수이며, 항상 0이 아닌 함수라면  로 간주한다.

이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동치이다.

연산편집

같은 차원의 두 다양체  ,  의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합   역시 표준적인 방향을 갖는다.

(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체  ,  의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간   역시 표준적인 방향을 갖는다.

유향 다양체  열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.)

성질편집

경계다양체편집

 차원 경계다양체  의 내부   차원 다양체를 이루며,   차원 다양체를 이룬다.  의 방향이 주어졌을 때, 이는  의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 방향은 가향 다양체이다.

복소다양체편집

모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로,  차원 복소다양체  열린 덮개  의 복소수 국소 좌표계

 

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수

 

정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는  의 방향을 정의한다.

외부 링크편집