탈레스 정리 (평행)

기하학에서, 탈레스 정리(영어: Thales' theorem)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

정의편집

평면 위 3개의 서로 다른 평행선  ,  ,  이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이  ,  ,  과 하나는 각각 점  ,  ,  에서 만나고, 다른 하나는 각각 점  ,  ,  에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

 

특히, 만약   에 대하여  과 같은 쪽에 있다면,   역시  에 대하여  과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약   에 대하여  과 다른 쪽에 있다면,   역시  에 대하여  과 다른 쪽에 있다.

증명편집

우선  인 경우를 보이자.  를 지나는  의 평행선과  의 교점을  이라고 하고,  을 지나는  의 평행선과  의 교점을  이라고 하자. 그렇다면  ,  ,  이므로, 삼각형   합동이며, 특히  이다. 사각형  ,  은 모두 평행 사변형이므로,

 

이다. 즉,  가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수  과 양의 정수  에 대하여  이라고 하자. 선분   등분하고, 직선  의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각  등분점을 지나는  의 평행선과 직선  의 교점 역시 선분   등분하며, 또한 직선  의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서  이 성립한다.

이제  가 일반적인 실수인 경우를 보이자.  이라고 가정하자. 임의의 유리수  에 대하여, 직선   위에서  인 점  를 취하고,  를 지나는  의 평행선과 직선  의 교점을  라고 하자. 그렇다면  이다.   는 평행하므로, 만약  라면  , 만약  라면  , 만약  라면  이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여,  가 성립한다.

따름정리와 일반화편집

닮음 삼각형의 성질편집

삼각형  의 두 변  ,  의 직선과 점  ,  에서 만나는 직선  이 다른 한 변  에 평행한다고 하자. 그렇다면,

 

이다.[1]:25, §I.3, Corollary 3.3

증명:

 를 지나는  의 평행선과 직선  ,  에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.

 

라고 하자. 그렇다면,

 

이다.

중심 닮음 변환의 성질편집

평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다.

증명:

우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을  라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점  ,  를 취하자.  의 상을  이라고 하고,  을 지나는  의 평행선과 직선  의 교점을  이라고 하자. 그렇다면

 

이므로,   역시  의 상이다. 따라서 직선  의 상직선  은 원래 직선에 평행한다.

다차원 아핀 공간 일반화편집

  위의 아핀 공간  의 서로 다른 평행 아핀 초평면  가 주어졌고, 어떤 아핀 직선   ,  ,  과 각각 점

 
 
 

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

 

은 아핀 초평면  ,  ,  에만 의존하며, 아핀 직선  의 선택과 무관하다.[2]:49, §2.5, Proposition 2.5.1

증명:

아핀 초평면  평행 이동들로 구성된 벡터 공간  에 대한 몫아핀 공간  로 가는 아핀 사영 변환

 

를 생각하자. 그렇다면  아핀 변환이며, 유도된 선형 변환  를 갖는다. 이제

 

라고 가정하자. 그렇다면

 

이며,  의 정의에 의하여

 

이다. 따라서,

 

은 아핀 직선  의 선택과 무관하다.

역사편집

고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.

각주편집

  1. Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939. 
  2. Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.