중심 닮음 변환

아핀 기하학에서, 중심 닮음 변환(中心-變換, 영어: homothety 호모세티[*])은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 함수이다. 이는 유클리드 공간 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 아핀 공간 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 평행 이동함수의 합성에 대하여 을 이룬다. 이는 모든 직선을 이에 평행하는 직선으로 대응시키는 전단사 함수들의 군과 같다.

정의편집

  위의 아핀 공간  와 점   및 0이 아닌 상수  이 주어졌다고 하자.  을 중심으로 하고  를 비로 하는  중심 닮음 변환은 다음과 같다.

 
 

특히,  일 경우 이는 항등 함수이며,  일 경우 이는 중심점에 대한 반사와 같다.

확대 변환편집

  위의 아핀 공간   위 함수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  확대 변환(擴大變換, 영어: dilatation)이라고 한다.

  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    •  아핀 변환이다.
    •  선형 변환 성분은 일반 선형군  중심  의 원소이다. (여기서   의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간이다.)
  •  는 중심 닮음 변환이거나 평행 이동이다. (사실, 평행 이동은 무한원점을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.)

증명:

만약  가 중심 닮음 변환이라면, 중심을  라고 하고, 비를  이라고 하자. 그렇다면 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,   를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약  가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를  라고 하자. 그렇다면 임의의  에 대하여,

 

이다. 즉,  항등 함수  을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약   의 원소  을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의  를 취하자. 만약  이라면, 임의의  에 대하여

 

이므로,   를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약  이라면, 아핀 결합

 

 고정점이다. 따라서 임의의  에 대하여,

 

이므로, 이는  을 중심으로 하고  를 비로 하는 중심 닮음 변환이다.

성질편집

대수적 성질편집

아핀 공간   위의 확대 변환들은 아핀 군  정규 부분군  를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 전단사 아핀 변환이다.

기하학적 성질편집

  위의 아핀 공간   위 함수  가 주어졌고,  이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 확대 변환이다.
  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    •  전단사 함수이다.
    • 임의의 아핀 직선  에 대하여,   평행하는 아핀 직선이다.

증명:

편의상  라고 하자.

만약  가 확대 변환이라면, 우선  가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선  에 대하여,   역시 아핀 직선이다.  의 선형 변환 성분을  라고 하고, 임의의  를 취하자. 그렇다면

 

이다. 따라서,   에 평행한다.

만약  가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선  를 취하고,   로 생성된다고 하자. 그렇다면   에 평행하는 아핀 직선이며,  로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환  가 존재한다.

 
 

임의의  에 대하여,  에 대한 가정에 의하여,  ,  로 생성된 아핀 직선은 각각  ,  로 생성된 아핀 직선에 평행한다.  은 확대 변환이므로,   ,  로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉,  이다.  이므로  과 평행하는  이 아닌 아핀 직선  가 존재하며, 이를   대신 사용하면 임의의  에 대하여  라는 사실을 얻는다. 따라서  이며,  는 확대 변환이다.

중심 닮음 변환에 대한 상  는 중심  과 원래 점  를 잇는 직선 위의 점이다. 유클리드 공간의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의  를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를  의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는  를 비로 하는 닮음 변환이다.

편집

3차원 유클리드 공간  의 원점  을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다.

 
 

참고 문헌편집

외부 링크편집