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합동 (기하학)

왼쪽 두 도형은 합동이고, 왼쪽 세 도형은 닮음이다. 마지막 도형은 나머지와 닮음도 합동도 아니다.

기하학에서, 합동(合同, 영어: congruence)은 두 도형이 모양과 크기가 같음을 나타내는 관계이다. 즉, 두 도형을 점집합으로 생각할 때, 하나에 어떤 등거리 변환에 대한 을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 두 도형이 합동이라고 한다. 서로 합동인 도형은 서로 닮음이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의편집

등거리 변환은 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환이다.

유클리드 공간  의 두 도형  이 다음 조건을 만족시키면,  합동이라고 한다.

  •  등거리 변환  이 존재한다.

도형의 합동은 동치 관계를 이룬다. 도형의 합동은 닮음에서 닮음비가 1인 특수한 경우다.

성질편집

삼각형의 합동편집

 
평면 삼각형은 합동 조건 SAS, ASA, AAS를 갖지만, 합동 조건 SSA를 갖지 않는다.

두 삼각형이 합동이라면, 이 두 삼각형의 세 쌍의 변(의 길이) 및 세 쌍의 각(의 크기)은 각각 같다. 각 쌍의 변을 대응변(對應邊, 영어: corresponding sides)이라고 하며, 각 쌍의 각을 대응각(對應角, 영어: corresponding angles)이라고 한다.

삼각형  와 삼각형  의 합동은 기호로 다음과 같이 나타낸다.

 

단, 같은 위치의   ,   ,   는 대응점이어야 한다.[1]:5

두 삼각형  가 합동일 몇 가지 충분 조건은 다음과 같다.

  • SSS(변변변): 만약  ,  ,  라면,  이다. 즉, 두 삼각형의 세 쌍의 대응변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
  • SAS(변각변): 만약  ,  ,  라면,  이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
  • ASA(각변각): 만약  ,  ,  라면,  이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
  • AAS(각각변): 만약  ,  ,  라면,  이다. 즉, 두 삼각형의 두 쌍의 대응각 및 그 공공변이 아닌 변이 각각 같다면, 두 삼각형은 합동이다.
  • RHS: 만약  ,  ,  라면,  이다. 즉, 두 직각 삼각형빗변과 한 직각변이 각각 같다면, 두 직각 삼각형은 합동이다.

그러나, 다음 조건 가운데 하나를 만족시키는 두 삼각형  는 합동일 필요가 없다.

  • SSA(변변각): 만약  ,  ,  이더라도,  일 수 있다. 즉, 두 쌍의 대응변 및 그 사잇각이 아닌 한 쌍의 각이 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만, 이 각이 직각일 경우, RHS에 따라 합동이다.
  • AAA(각각각): 만약  ,  ,  이더라도,  일 수 있다. 즉, 세 쌍의 대응각기 같더라도, 두 삼각형은 합동이 아닐 수 있다. 다만 이 경우 두 삼각형은 서로 닮음이다.

구면기하학의 경우편집

평면 삼각형과 달리, 구면 삼각형은 합동 조건 AA를 가지며, 합동 조건 AAS를 갖지 않는다.

각주편집

  1. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4.