바이어슈트라스 M-판정법

해석학에서 바이어슈트라스 M-판정법(영어: Weierstrass M-test)은 함수항 급수가 균등 수렴할 충분 조건을 제시하는 수렴 판정법이다. 멱급수를 다룰 때 유용하다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수

집합 $S$ 및 함수열 $f_{n}\colon S\to \mathbb {K}$ ($n\in \mathbb {N}$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )$이 존재한다고 하자.

• 임의의 $n\in \mathbb {N}$ 및 $s\in S$에 대하여, $|f_{n}(s)|\leq M_{n}$
• $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$는 균등 수렴한다.

증명:

임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}$의 부분합이 코시 수열이므로, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다.

임의의 $m,n>N_{\epsilon }$에 대하여, $\textstyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}\right|<\epsilon$

삼각 부등식에 따라, 임의의 $m,n>N_{\epsilon }$ 및 $s\in S$에 대하여,

$\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(s)\right|\leq \sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(s)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{n}<\epsilon$

이다. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따라, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 균등 수렴한다.

바나흐 공간 값의 함수항 급수

보다 일반적으로, 집합 $S$ 및 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 및 함수열 $f_{n}\colon S\to X$ ($n\in \mathbb {N}$)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq [0,\infty )$이 존재한다고 하자.

• 임의의 $n\in \mathbb {N}$ 및 $s\in S$에 대하여, $\Vert f_{n}(s)\Vert \leq M_{n}$
• $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty$

바이어슈트라스 M-판정법에 따르면, 함수항 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$는 균등 수렴한다.

증명:

유계 함수 $S\to X$의 벡터 공간 ${\mathcal {B}}(S,X)$ 위에 다음과 같은 상한 노름을 줄 수 있다.

$\Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{s\in S}\Vert f(s)\Vert \qquad (f\in {\mathcal {B}}(S,X))$

이 경우 ${\mathcal {B}}(S,X)$는 위 노름에 대하여 바나흐 공간을 이룬다 (증명: 완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수).

각 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $\Vert f_{n}\Vert _{\infty }\leq M_{n}$이며, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}<\infty$이므로, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{\infty }<\infty$이다. 즉, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 (상한 노름에 대하여) 절대 수렴한다. 따라서 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, 균등 수렴한다.

예

다음과 같은 함수열 $f_{n}\colon [0,\infty )\to \mathbb {R}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$)을 생각하자.

$f_{n}\colon x\mapsto x^{2}\exp(-nx)$

그렇다면

$f_{n}'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)$

이므로 각 $f_{n}$은 $\textstyle x={\frac {2}{n}}$에서 최댓값 $\textstyle \left({\frac {2}{n}}\right)^{2}\exp(-2)$을 가진다. $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}<\infty$이므로, $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$은 균등 수렴한다.

역사

카를 바이어슈트라스의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크): 148.