여과 (수학)

수학에서 여과(濾過, 영어: filtration)는 전순서 집합으로 지표화된 일련의 부분 대상들로 구성된 구조이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$이 주어졌다고 하자. 그 위의, 부분 대상의 부분 순서 집합 $\operatorname {Sub} (X)$을 정의할 수 있다.

전순서 집합 $I$에 대하여, $X$ 위의 $I$-오름 여과(영어: ascending filtration)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 전순서 집합 $(I,\leq )$
• 순서 보존 함수 $I\to \operatorname {Sub} (X)$, $i\mapsto X_{i}$.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\varinjlim _{i\in I}X_{i}=X$

$X$ 위의 $I$-내림 여과(영어: descending filtration)는 $I^{\operatorname {op} }$-올림 여과와 같은 개념이다.

흔히 $I$의 경우 보통 자연수의 전순서 집합 $(\mathbb {N} ,\leq )$이 사용된다.

마찬가지로, 부분 대상의 집합 $\operatorname {Sub} (X)$ 대신 몫 대상의 집합 $\operatorname {Quot} (X)$을 사용하면 쌍대 여과(영어: cofiltration)의 개념을 정의할 수 있다. 이는 반대 범주 ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$에서의 여과와 같다.

예

가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 위의 $\mathbb {N}$-감소 여과

$M=M_{0}\supseteq M_{1}\supseteq M_{2}\cdots M$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, $M$에 다음과 같은 기저로 정의되는 자연스러운 위상을 부여할 수 있다.

$\left\{m+M_{i}\colon i\in \mathbb {N} ,\;m\in M\right\}$

이러한 위상이 하우스도르프 공간이 될 필요 충분 조건은

$\bigcap _{i\in \mathbb {N} }M_{i}=\{0\}$

인 것이다.

특히, 만약 $R$의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {i}}$가 주어졌을 때, 여과

$M_{i}={\mathfrak {i}}^{i}M$

에 대응되는 위상은 ${\mathfrak {i}}$진 위상(영어: ${\mathfrak {i}}$-adic topology)이라고 한다. 이는 대수기하학에서 등장한다.

결합 대수

가환환 $R$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌으며, 그 위에 $R$-가군으로서의 $\mathbb {N}$-올림 여과

$A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots A_{\infty }=A$

가 주어졌다고 하자. (그러나 이는 $R$-결합 대수로서의 여과가 아닐 수 있다.) 또한, 이 여과가 결합 대수 구조와 다음과 같이 호환된다고 하자.

$A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N}$

(특히, $1_{A}\in A_{0}$이어야 한다.) 그렇다면, 다음과 같은 $R$-등급 대수를 정의할 수 있다.^{:64, §2.1}

$\operatorname {gr} A=A_{0}\oplus \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }{\frac {A_{i+1}}{A_{i}}}$

그 위의 곱셈은 다음과 같다.

$(a+A_{i})(b+A_{j})=ab+A_{i+j}\qquad \forall i,j\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{j+1}$

$(a+A_{i})b=ab+A_{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{0}$

$b(a+A_{i})=ba+A_{i}\quad \forall i\in \mathbb {N} ,\;a\in A_{i+1},\;b\in A_{0}$

이 경우

$1_{\operatorname {gr} A}=1_{A}$

이다.

여기서 자연스러운 결합 대수 사상

$A\to \operatorname {gr} A$

$a\mapsto a+A_{i-1}\qquad \forall a\in A_{i}$

을 기호 사상(記號寫像, 영어: symbol map)이라고 한다.^{:64, §2.1}

벡터 공간

선형대수학에서, 체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 오름 여과

$V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq \cdots \subseteq V$

에서, 만약 모든 포함 관계가 자명하지 않다면, 즉

$V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots$

이라면, 이를 기(旗, 영어: flag)라고 한다.

시그마 대수

$(T,\lesssim )$가 원순서 집합이라고 하자. 시그마 대수 $\Sigma$ 위의 (오름) 여과는 순서 보존 함수

$T\to \operatorname {Sub} (\Sigma )$

$t\mapsto \Sigma _{t}$

를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립하여야 한다.

임의의 $t,t'\in T$에 대하여, $\Sigma _{t}\subseteq \Sigma _{t'}$

여기서 $\operatorname {Sub} (\Sigma )$는 $\Sigma$의 부분 시그마 대수들의 (부분 집합 관계에 대한) 부분 순서 집합이다. 여기서, $T$의 원소는 보통 "시간"이라고 불린다.

여과를 갖춘 시그마 대수를 여과 시그마 대수(濾過σ代數, 영어: filtered sigma algebra)라고 하며, 마찬가지로 여과 확률 공간(濾過確率空間, 영어: filtered probability space) 따위를 정의할 수 있다.

이는 금융공학에서 가격의 움직임을 모형화하는 데 중요하게 쓰인다. 이 경우 $\Sigma _{t}$는 시점 $t$에 시장에 공개된 정보의 양을 나타내며, 따라서 여과를 통해 가격을 $\Sigma _{t}$-마팅게일로 만듦으로써 완전 시장을 모형화할 수 있다.

외부 링크

• “Filtered algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Filtered module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Filtration”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector space flag”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Filtered object”. 《nLab》 (영어). 
• “Associated graded object”. 《nLab》 (영어). 
• “Filtered topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Connected filtered space”. 《nLab》 (영어). 
• “Filtered chain complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Filtered ring”. 《nLab》 (영어). 
• Muller, Greg (2007년 8월 28일). “Filtrations in algebraic geometry”. 《The Everything Seminar》 (영어).