편각 원리

복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 로그 도함수의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다.

경로 $\gamma$를 따라 $f'/f$를 적분한 결과는 $f$의 영점(파란색)과 극점(빨간색)의 개수를 이용하여 구할 수 있다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma \colon [0,1]\to D$가 주어졌고, 유리형 함수 $f\colon D\to {\widehat {\mathbb {C} }}$가 $\operatorname {im} \gamma$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다.

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})$

여기서 $\textstyle \sum _{z_{0}}$는 $\operatorname {im} \gamma$의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, $N(f;z_{0})\in \mathbb {Z}$는

$f(z)=\Theta (z-z_{0})^{N(f;z_{0})}\qquad (z\to z_{0})$

을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 $z_{0}$이 영점이라면 영점의 차수이며, $z_{0}$이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 $N(f;z_{0})=0$이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로, $f$는 $\operatorname {im} \gamma$에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.

증명

우선, $f'/f$는 $\operatorname {im} \gamma$에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로, $\gamma$ 위의 경로 적분이 존재한다. 임의의 $\operatorname {im} \gamma$ 내부의 점 $z_{0}$에 대하여, 다음과 같은 유리형 함수 $g\colon D\to {\widehat {\mathbb {C} }}$를 정의하자.

$g(z)={\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{N(f;z_{0})}}}\qquad \forall z\in D$

그렇다면, $N(f;z_{0})$의 정의에 의하여, $g$는 어떤 열린 근방 $D\supseteq N\ni z_{0}$에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 $g'/g$는 $N$에서 극점을 갖지 않는다. 이제 $0<r<d(z_{0},\partial N)$을 취하자. 그렇다면 코시 적분 정리에 의하여

$\operatorname {Res} \left({\frac {f'}{f}};z_{0}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}\left({\frac {N(f;z_{0})}{z-z_{0}}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)\mathrm {d} z=N(f;z_{0})$

이며, 따라서 유수 정리에 의하여

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}\operatorname {Res} \left({\frac {f'}{f}};z_{0}\right)=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})$

이다.

일반화

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma \colon [0,1]\to D$가 주어졌고, 유리형 함수 $f\colon D\to {\widehat {\mathbb {C} }}$가 $\operatorname {im} \gamma$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수 $g\colon D\to \mathbb {C}$에 대하여,

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}g(z)\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})g(z_{0})$

이다. 이 정리에서

$g(z)=1\qquad \forall z\in D$

를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤 $z_{0}\in D$에 대하여

$f(z)=z-z_{0}\qquad \forall z\in D$

를 취하면 코시 적분 공식을 얻는다. 이 정리는 아벨-플라나 공식을 증명하는 데 쓰인다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

같이 보기

• 루셰 정리

외부 링크

• “Argument, principle of the”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Argument principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.