포락선(envelope, 包絡線)은 어떤 단일 매개변수에 따라 정의된 무한개의 곡선이 있을 때 그 곡선족의 모든 곡선에 접하는 곡선을 이르는 말이다. 즉, 각각의 에 대하여 곡선 가 있을 때, 이의 포락선 σ는 각각의 모두와 접하는 곡선이다.[1] 정의에 의하면 일반적으로 모든 곡선은 그 접선족의 포락선이라고 말할 수 있다.[2]

선(線)이라는 명칭은 이 개념이 일반적으로 1차원적인 도형인 곡선에 대해서만 적용되기 때문에 번역 도중 붙은 것인데, 일반적으로 원어의 'envelope' 개념은 모든 차원의 도형에 대해 적용시킬 수 있는 것이므로 차원을 특정하지 않고 포락체(包絡體)로 부르기도 한다. 2차원곡면에 대한 명칭은 포락면(包絡面), 3차원입체(곡포曲胞)에 대한 명칭은 포락포(包絡胞)이다.

구하는 방법편집

좌표변수 x, y와 단일 매개변수 t에 대한 곡선족 F(x, y, t) = 0의 포락선은 정의에 의해 모든 x, y, t에 대해 다음 두 식을 만족한다.

 

이 두 식을 이용하여 t를 소거한 방정식이 나타내는 곡선이 바로 포락선이 된다.

예를 들어 t를 매개변수로 가지는 곡선군  의 포락선을 구해보자.

특수한 경우의 포락선편집

매개변수 방정식이 이차일 경우편집

만약 매개변수 방정식 F(x, y, t) = 0이 t에 관한 이차 방정식   을 만족할 경우, 이 곡선족의 포락선은 이 이차 방정식의 판별식  에 포함된다.[2] 증명은 다음과 같다.[3] 먼저 위의 조건을 가정하자. 그러면,

 

이렇게 조건으로부터 위 판별식을 끌어낼 수 있다. 그러므로 위의 판별식이 표현하는 식은 포락선을 포함한다.

법선족의 포락선편집

앞의 식을 이용하여 임의의 y = f(x) 꼴 곡선의 법선군이 만드는 포락선의 방정식은 다음의 t를 매개변수로 하는 매개변수식의 자취에 포함된다는 것을 보일 수 있다.[3]

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포락면편집

유사하게, 좌표변수 x, y, z와 단일 매개변수 t에 대한 곡면족 f(x, y, z, t) = 0의 포락면은 모든 x, y, z, t에 대해 다음 두 식을 만족한다.[2]

 

이중 매개변수 (s, t)에 대한 곡면족 f(x, y, z, s, t) = 0의 포락면은 모든 x, y, z, s, t에 대해 다음 세 식을 만족한다.[2]

 

이 식들에서 매개변수를 소거하여 얻는 방정식이 포락면의 방정식이다.

포락 n-체편집

임의의 n차원 도형에 대해 포락 n-체를 구할 때 역시 n개의 좌표변수와 최대 n개의 매개변수가 주어진다. 그러면 위에서와 같은 방식으로 찾을 수 있는 최대 n+1개의 연립방정식이 주어지는데, 매개변수를 모두 소거하여 좌표변수만으로 이루어진 방정식을 구하면 그 방정식이 포락 n-체의 방정식이 된다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 김영욱, 〈17세기의 시계 혁명과 하위헌스의 수학〉, 《수학과 교육》, 전국수학교사모임, 2010년 3, 4월호 (79), 59쪽.
  2. 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006, 408쪽.
  3. 위의 책, 409쪽.

참고 문헌편집

  • 호리에 노부오 외, 《미분적분학 연습》, 도서출판 고섶, 2006