포함 함수

수학에서 포함 함수(包含函數, 영어: inclusion function) 또는 포함 사상(包含寫像, 영어: inclusion map)은 정의역이 공역의 부분 집합이며, 정의역의 모든 원소를 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의

집합 $X$와 그 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $Y$에서 $X$로 가는 포함 함수 $\iota _{Y,X}$는 다음과 같은 함수이다.

• $\iota _{Y,X}\colon Y\hookrightarrow X$
• 임의의 $y\in Y$에 대하여, $\iota _{Y,X}(y)=y$

즉, 이는 $Y$의 항등 함수의 공역을 $X$로 확대하여 얻는다.

성질

모든 포함 함수는 단사 함수이다. 모든 단사 함수는 전단사 함수와 포함 함수의 합성이다.

관련 개념

포함 함자

범주 ${\mathcal {C}}$와 그 부분 범주 ${\mathcal {D}}$에 대하여, ${\mathcal {D}}$에서 ${\mathcal {C}}$로 가는 포함 함자(包含函子, 영어: inclusion functor) $\iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}$는 다음과 같은 함자이다.

• $\iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}\colon {\mathcal {D}}\hookrightarrow {\mathcal {C}}$
• 임의의 대상 $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$에 대하여, $\iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}(X)=X$
• 임의의 대상 $X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ 및 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여, $\iota _{{\mathcal {D}},{\mathcal {C}}}(f)=f$

이는 항상 충실한 함자이며, 충만한 함자일 필요충분조건은 충만한 부분 범주이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inclusion map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Inclusion function”. 《nLab》 (영어).