푸페 완전열

호모토피 이론에서 푸페 완전열(Puppe完全列, 영어: Puppe exact sequence)은 어떤 연속 함수로부터 유도되는 긴 완전열이다.

정의

두 점을 가진 공간

$(X,\bullet _{X})$

$(Y,\bullet _{Y})$

사이의, 점을 보존하는 연속 함수

$f\colon X\to Y$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사상뿔

$\mathrm {C} f={\frac {X\times \mathbb {I} \sqcup Y}{\sim }}$

$(x,0)\sim (x',0)\qquad \forall x,x'\in X$

$(x,1)\sim f(x)\qquad \forall x\in X$

$\bullet _{\mathrm {C} f}=[(\bullet _{X},1)]_{\sim }=[\bullet _{Y}]_{\sim }$

과 사상올

$\mathrm {M} f=\left\{(x,\gamma )\in X\times \hom _{\bullet }(\mathbb {I} ,Y)\colon \gamma (1)=f(x)\right\}$

$\bullet _{\mathrm {M} f}=(\bullet _{X},(t\mapsto \bullet _{Y}))$

을 정의할 수 있다. (여기서 $\mathbb {I} =([0,1],0)$은 밑점 0을 가진 닫힌구간이다.) 만약 $f$가 올뭉치라면 사상올은 그 올과 호모토피 동치이며, 만약 $f$가 쌍대올뭉치라면 사상뿔은 그 쌍대올과 호모토피 동치이다.

이에 따라, 두 호모토피 짧은 완전열

$\bullet \to \mathrm {M} f\to X\to Y\to \bullet$

$\bullet \to X\to Y\to \mathrm {C} f\to \bullet$

을 정의할 수 있다. 즉, 합성 사상

$\mathrm {M} f\to Y$

$(x,\gamma )\mapsto \gamma (1)$

은 상수 함수 $(x,\gamma )\mapsto \bullet _{Y}$와 호모토픽하며, 합성 사상

$X\to \operatorname {C} f$

$x\mapsto [(x,1)]$

역시 상수 함수와 호모토픽하다.

또한, 축소 고리 공간의 포함 관계

$\Omega Y\hookrightarrow \mathrm {M} f$

$\gamma \mapsto (\bullet _{X},\gamma )$

와 축소 현수로의 몫 관계

$\mathrm {C} f\twoheadrightarrow \Sigma X$

$(x,t)\mapsto [(x,t)]\qquad \forall (x,t)\in X\times \mathbb {I}$

$y\mapsto \bullet _{\Sigma X}\qquad \forall y\in Y$

를 사용하여, 더 긴 열

$\Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y$

$X\to Y\to \mathrm {C} f\to \Sigma X$

을 정의할 수 있다. 이제, 축소 고리 공간과 축소 현수의 함자성을 통해 열

$\Omega X\,{\xrightarrow {\Omega f}}\,\Omega Y\hookrightarrow \mathrm {M} f\to X\,{\xrightarrow {f}}\,Y$

$X\,{\xrightarrow {f}}\,Y\to \mathrm {C} f\twoheadrightarrow \Sigma X\,{\xrightarrow {\Sigma f}}\,\Sigma Y$

을 정의할 수 있으며, 이 역시 완전열임을 보일 수 있다. 또한,

$\Sigma \mathrm {C} f\simeq \mathrm {C} \Sigma f$

$\Omega \mathrm {M} f\simeq \mathrm {M} \Omega f$

가 성립한다. 따라서, 이 과정을 반복하여 무한히 긴 호모토피 완전열

$\dotsb \to \Omega ^{2}\mathrm {M} f\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega \mathrm {M} f\to \Omega X\to \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y$

$X\to Y\to \mathrm {C} f\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \Sigma \mathrm {C} f\to \Sigma ^{2}X\to \Sigma ^{2}Y\to \Sigma ^{2}\mathrm {C} f\to \dotsb$

을 정의할 수 있다. (여기서 ‘호모토피 완전열’이란 두 사상의 합성이 밑점으로의 상수 함수와 호모토픽함을 뜻한다.) 이를 푸페 완전열이라고 한다.

예

푸페 완전열

$\dotsb \to \Omega ^{2}\mathrm {M} f\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega \mathrm {M} f\to \Omega X\to \Omega Y\to \mathrm {M} f\to X\to Y$

에서, 성분별 0차 호모토피 군을 취하자. $\pi _{n}(X)=\pi _{0}(\Omega ^{n}X)$를 사용하면, 이는 군의 완전열

$\dotsb \to \pi _{2}(\mathrm {M} f)\to \pi _{2}(X)\to \pi _{2}(Y)\to \pi _{1}(\mathrm {M} f)\to \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{0}(\mathrm {M} f)\to \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

을 얻는다. (물론, $\pi _{0}$에 대한 마지막 항들은 일반적으로 군이 아니다.)

특히, $X$가 $Y$의 (점을 공유하는) 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이 경우 사상올

$\mathrm {M} f=\{\gamma \in \hom _{\bullet }(\mathbb {I} ,Y)\colon \gamma (1)\in X\}$

의 호모토피 군이 상대 호모토피 군과 동형임을 보일 수 있다.

$\pi _{n}(\mathrm {M} f)\cong \pi _{n+1}(Y,X)$

즉, 이 경우 푸페 완전열은 상대 호모토피 완전열

$\dotsb \to \pi _{3}(Y,X)\to \pi _{2}(X)\to \pi _{2}(Y)\to \pi _{2}(Y,X)\to \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(Y,X)\to \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

과 같다.

역사

디터 푸페가 도입하였다.

외부 링크

• “Fiber sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Cofiber sequence”. 《nLab》 (영어). 
• “Long exact sequence of homotopy groups”. 《nLab》 (영어).