현수 (위상수학)

(축소 현수에서 넘어옴)

대수적 위상수학에서, 위상 공간현수(懸垂, 영어: suspension)는 그 위상 공간에 단위 폐구간곱해, 양 끝을 각각 한 점으로 치환한 몫공간이다. 관련된 개념으로, 축소 현수(縮小懸垂, 영어: reduced suspension)는 현수보다 더 많은 점들을 동일화시킨 몫공간이다.

(파란색)의 현수(검은색)는 위상동형이다: .

호몰로지호모토피 군대수적 위상수학에서 쓰이는 개념들은 (축소) 현수에 대하여 자연스러운 성질들을 보인다.

정의편집

현수편집

 위상 공간이라고 하자. 그렇다면  현수  는 다음과 같은 몫공간이다.

 

여기서  은 표준적인 위상이 주어진 단위 폐구간이다. 즉, 곱공간  에서 양 끝  을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 만약 연속함수  가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수

 
 

가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 연속 함수들의 범주  자기 함자

 

를 이룬다.

축소 현수편집

 점을 가진 공간이라고 하자. 그 축소 현수  는 다음과 같은 몫공간이다.

 

여기서  분쇄곱이고,  쐐기합이며,  이다. 점을 가진 공간의 축소 현수는 자연스러운 밑점  을 가진다.

현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수  가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수

 

가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주  자기 함자

 

를 이룬다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자고리 공간 함자  이다.

성질편집

CW 복합체  의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 호모토피 동치이다.

 

 가 점을 갖는 CW 복합체이며,  차 이하 호모토피 군이 자명하다고 하자. 그렇다면 함수

 

로 인하여, 호모토피 군의 준동형

 

이 존재한다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 이 준동형 사상은  일 경우는 동형이며,  일 경우는 전사이다.

프로이덴탈 현수 정리에 따라서, 만약  n-연결 공간일 경우,   -연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다.   안정 호모토피 군(영어: stable homotopy group)은 충분히 큰  에 대한

 

이다.

편집

 차원 초구의 현수는  차원 초구위상 동형이며, 축소 현수는 이와 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아니다.

 

역사편집

프로이덴탈 현수 정리는 1928년에 한스 프로이덴탈이 증명하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Freudenthal, H. (1938). “Über die Klassen der Sphärenabbildungen I. Große Dimensionen”. 《Compositio Mathematica》 (영어) 5: 299–314. ISSN 0010-437X. 

외부 링크편집

같이 보기편집