프라티니 논증

군론에서, 프라티니 논증(-論證, 영어: Frattini argument)는 유한군정규 부분군과 이 부분군의 쉴로브 부분군정규화 부분군의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

정의편집

 소수  가 주어졌고,   유한 정규 부분군이며,   쉴로브 p-부분군이라고 하자. 프라티니 논증에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:128, §6.3, Lemma 6.14

 

여기서    정규화 부분군이다.

증명편집

임의의  에 대하여,   의 쉴로브 p-부분군이다. 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는  에서  켤레이다. 즉,

 

 이 존재한다. 따라서  이며,

 

이다.

응용편집

유한군  와 소수  가 주어졌고,   의 쉴로브 p-부분군이며,  라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[1]:129, §6.3, Corollary 6.15

 

특히,

 

이다.

증명:

  의 정규 부분군이며,

 

 의 쉴로브 p-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여

 

이다.

역사편집

1885년에 조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini)가 유한군의 프라티니 부분군멱영군이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

각주편집

  1. Rose, Harvey E. (2009). 《A Course on Finite Groups》. Universitext (영어). London: Springer. doi:10.1007/978-1-84882-889-6. ISBN 978-1-84882-888-9. ISSN 0172-5939. 

외부 링크편집