프라티니 부분군

군론에서 프라티니 부분군(Frattini部分群, 영어: Frattini subgroup)은 어떤 군의, “매우 작은” 원소들만으로 구성된 정규 부분군이다. 구체적으로, “너무 작아서” 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다.

정의

군 $G$의 부분군들의 족을

$\operatorname {Sub} (G)$

라고 하자. 이는 부분 집합 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 사실 완비 격자를 이룬다. 이 완비 격자에서, 하한은 교집합이다. (그러나 상한은 합집합이 아니다.) 그 최대 원소는 물론 $G\in \operatorname {Sub} (G)$이다.

이제, $\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\}$의 극대 원소들의 집합

$\max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})\subseteq \operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\}$

을 생각하자. (이는 공집합일 수 있다.)

군 $G$의 원소 $a$가 다음 조건을 만족시킨다면, 비생성원(非生成元, 영어: non-generating element)라고 하자.

• 만약 부분 집합 $S\subseteq G$가 $G$를 생성하며, $a\in S$라면, $S\setminus \{a\}$ 역시 $G$를 생성한다.

이제, 다음 두 부분 집합이 일치하며, 이를 $G$의 프라티니 부분군이라고 하고, $\operatorname {\Phi } (G)$로 표기한다.

• $\textstyle \bigcap \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})$ (즉, $G$의 모든 극대 진부분군들의 교집합)
• $G$의 비생성원들의 집합

(여기서, $\textstyle \bigcap \varnothing =G$이다. 즉, 만약 극대 진부분군이 없다면, 프라티니 부분군은 $G$ 전체이다.)

증명 (비생성원 ⇒ 모든 극대 진부분군에 속함):

$g\in G$가 비생성원이라고 하고, $M\in \max(\operatorname {Sub} (G)\setminus \{G\})$가 $G$의 극대 진부분군이라고 하자. 이제, $a\not \in M$이라면, $M\cup \{g\}$로 생성되는 부분군을 생각하자. $M$이 극대 진부분군이므로, 이는 $G$이다. 그런데 $M\cup \{a\}$은 $G$의 생성 집합이지만 $M$은 $G$의 생성 집합이 아니다. 따라서 이는 모순이다.

증명 (비생성원이 아님 ⇒ 속하지 않는 극대 진부분군이 존재):

어떤 원소 $g\in G$ 및 부분 집합 $S\subseteq G$에 대하여, 만약 $S\cup \{g\}$가 $G$를 생성하지만, $S$는 $G$를 생성하지 않는다고 하자.

이제, $S$를 포함하며, $g$를 포함하지 않는 모든 부분군들의 족

$\{H\in \operatorname {Sub} (G)\colon g\not \in H\supseteq S\}$

을 생각하자. 초른 보조정리에 따라, 이는 적어도 하나의 극대 원소 $M\leq G$를 갖는다. 이제, 이 부분군이 $G$의 극대 진부분군임을 보이면 족하다.

$M$을 포함하는 임의의 부분군 $M<N\leq G$를 생각하자. 이제, $M$이 $\{H\in \operatorname {Sub} (G)\colon g\not \in H\supseteq S\}$의 극대 원소이므로, $g\in N$이다. 그러므로, $N=G$이다. 따라서, $M$은 $g$를 포함하지 않는, $G$의 극대 진부분군이다.

성질

군 $G$의 프라티니 부분군은 항상 $G$의 정규 부분군이다.

증명:

$G$의 프라티니 부분군은 $G$의 부분군들의 완비 격자에 의하여 결정된다. $G$의 극대 진부분군의 집합은 $G$의 모든 자기 동형 사상 아래 불변이며, 따라서 그 교집합인 프라티니 부분군 역시 마찬가지다. 특히, 켤레 사상은 군의 자기 동형 사상이므로, 프라티니 부분군은 정규 부분군이다.

만약 $G$가 유한군이라면, 그 프라티니 부분군은 멱영군이다.

임의의 두 유한군 $G$, $H$에 대하여,

$\operatorname {\Phi } (G\times H)=\operatorname {\Phi } (G)\times \operatorname {\Phi } (H)$

이다.

예

크기 8의 정이면체군 $\operatorname {Dih} (4)$의 부분군들의 하세 도표는 다음과 같다.

이 경우, 극대 진부분군들은 위에서 둘째 줄의 세 부분군들이다. $\operatorname {Dih} (4)$의 프라티니 부분군은 이들의 교집합(하한)인, 셋째 줄의 가운데에 있는 부분군 {F, Ⅎ}이다.

초특별군의 프라티니 부분군은 그 중심과 일치하며, 소수 크기의 순환군이다.

극대 진부분군이 없는 군

유리수체의 덧셈군 $(\mathbb {Q} ,+)$을 생각하자. 이는 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은 $\mathbb {Q}$ 전체이다.

마찬가지로, 자명군은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 자명군이다.

역사

프라티니 (1900년대 촬영 사진)

조반니 프라티니(이탈리아어: Giovanni Frattini, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다. 이 논문에서 프라티니는 프라티니 부분군의 두 정의가 서로 동치임을 증명하였다.

외부 링크

• “Frattini subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Frattini-subgroup(2)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Frattini subgroup”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Frattini factor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Frattini extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Frattini subgroup”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Frattini-free group”. 《Groupprops》 (영어).