피토 정리

피토 정리(영어: Pitot theorem)는 외접 사각형에서 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 동일하다는 기하학의 정리이다.

$|PA|=|PB|$

${\begin{aligned}&|AB|+|CD|\\=&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC|+|DA|\end{aligned}}$

이는 1725년, 피토 튜브을 발명한 프랑스의 공학자 앙리 피토에 의해 증명되었다.

증명

외접 사각형 ${\textstyle \Box ABCD}$ 에 대해, 변 ${\textstyle AB,\ BC,\ CD,\ DA}$ 와 내접원의 접점을 각각 ${\textstyle P,Q,R,S}$ 라 하면 접선의 성질에 의해:

$${\begin{cases}AS=AP\\BP=BQ\\CQ=CR\\DR=DS\end{cases}}$$

따라서 사각형의 반둘레 ${\textstyle s}$ 에 대해 다음을 쉽게 보일 수 있다.

$${\begin{array}{lcl}&AB+CD=(AP+PB)+(CR+DR)\\&BC+DA=(BQ+CQ)+(DS+AS)\\\Longrightarrow &AB+CD=BC+DA=s\end{array}}$$

역

이 정리의 역도 성립한다. 즉, 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 같은 볼록 사각형에 대해 항상 내접원이 존재한다. 이는 1846년 스위스의 수학자 야코프 슈타이너에 의해 증명되었다.

일반화

피토 정리는 원에 외접하는 ${\textstyle 2n}$각형에도 적용 될 수 있으며, 이때 각 변의 길이를 시계방향 순으로 ${\textstyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ldots \ x_{2n}}$ 이라 하면 다음이 성립한다.

$$x_{1}+x_{3}+x_{5}+\ldots +x_{2n-1}=x_{2}+x_{4}+x_{6}+\ldots +x_{2n}$$

즉, 홀수번째 변들의 길이 합이 짝수번째 변들의 길이 합과 같다는 것이다.