내접원

내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 이다. 내심(內心, 영어: incenter)은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 로 표기한다.

삼각형의 내접원과 내심
내접원을 갖는 사각형

정의편집

다각형의 모든 변에 접하는 을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)이라고 한다.

성질편집

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.

모든 삼각형정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원구점원과 접한다.

반지름편집

(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름  넓이  반둘레  를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

삼각형의 세 변의 길이가  ,  ,  , 반둘레가  , 넓이가  , 외접원의 반지름이  , 방접원의 반지름이  ,  ,  라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.

 

첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.

접점과 중심각편집

삼각형  의 내심을  라고 하고, 내접원과 두 변  ,  의 접점을 각각  ,  라고 하고, 직선   의 교점을  라고 할 때,   의 수선이다.[1]:31, §3.4

삼각형  의 내접원의  ,  ,  의 대변에서의 접점을 각각  ,  ,  라고 하고, 반둘레를  ,  ,  ,  의 대변의 길이를 각각  ,  ,  라고 할 때, 다음이 성립한다.

 
 
 

삼각형  의 내심  와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.

 
 
 

외접원과의 관계편집

삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을  ,  라고 할 때, 내심  와 외심   사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

 

특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).

 

삼각형  의 내심을  , 외접원의 호  의 중점  이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).

 

내심 삼각형편집

삼각형  의 내각 이등분선  ,  ,  의 발  ,  ,  를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형  내심 삼각형(內心三角形, 영어: incentral triangle)  라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.

제르곤 점과 제르곤 삼각형편집

 
제르곤 점과 제르곤 삼각형

삼각형  의 내접원과 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 접점을 각각  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분  ,  ,  는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형  제르곤 점(영어: Gergonne point)  이라고 한다. 삼각형  의 내접원의 세 접점  ,  ,  를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형  제르곤 삼각형(영어: Gergonne triangle) 또는 내촉 삼각형(영어: intouch triangle) 또는 접촉 삼각형(영어: contact triangle)  라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.

증명:

다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분  ,  ,  는 한 점에서 만난다.

 

제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.[1]:62, §7.4, (iv)

삼각형  의 내접원과 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 접점을 각각  ,  ,  라고 하고, 제르곤 점을  라고 하자. 제르곤 점  을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변  ,  ,  의 평행선  ,  ,  와 원래 삼각형  의 두 변   ,   ,   의 교점을 각각   ,   ,   라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 위에 있다. 이 원을 삼각형  애덤스 원(영어: Adams’ circle)이라고 한다.[1]:62, §7.4, (v) 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.[1]:62, §7.4, (v)

증명:

6개의 점  ,  ,  ,  ,  ,  와 내심  사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형  ,  ,  ,  ,  ,  의 빗변이다.  는 내접원의 반지름이므로

 

를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라  를 보이는 것으로 충분하다.

같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로  이다. 직선   는 평행하므로  이다. 따라서  이다.

선분  ,  의 연장선과 점  를 지나는 직선  의 평행선의 교점을 각각  ,  라고 하자. 그렇다면 직선   는 평행하며 삼각형  ,  이등변 삼각형이므로

 

이며, 선분  는 삼각형  중선이다. 직선  ,  ,  는 각각 직선  ,  ,  와 평행하므로, 삼각형  와 선분  의 합집합은 삼각형  와 선분  의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분   역시 삼각형  의 중선이다. 즉,  이다.

삼각형  의 내접원과 꼭짓점  ,  ,  의 대변의 접점을 각각  ,  ,  라고 하고, 제르곤 점을  라고 하자. 제르곤 점  을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변  ,  ,  의 평행선  ,  ,  와 원래 삼각형  의 두 변   ,   ,   의 교점을 각각   ,   ,   라고 하자. 직선   ,   ,   의 교점을 각각  ,  ,  라고 하자. 그렇다면 삼각형  의 제르곤 점  은 삼각형  대칭 중점이며, 삼각형  의 애덤스 원은 삼각형  제1 르무안 원이다.[1]:98, Exercise 9.2

역사편집

제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤(프랑스어: Joseph Diez Gergonne)의 이름을 땄다.

애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스(영어: C. Adams)가 제시하였다.[1]:62, §7.4, (v)

각주편집

  1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크편집