임의의 집합 가 주어졌을 때, 의 부분 집합 위에 정의된 정렬 집합들의 모임
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를 생각하자. 이므로 이 모임은 집합이다. 순서수 의 크기가 이하일 필요충분조건은 어떤 와 순서 동형인 것이다. 따라서, 모임
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역시 집합이다. 이제, 가 의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.
- 는 순서수
- 이므로, 가 추이적 집합임을 보이면 충분하다. 만약 이며 라면, 단사 함수 가 존재하는데, 이를 로 제한하면 단사 함수 를 얻는다. 따라서 이다.
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- 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 정칙성 공리에 따라,) 이다. 즉, 일 수 없다.
- 의 최소성
- 의 정의에 따라, 보다 작은 순서수들의 크기는 이하이다. 즉, 의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.